On considère une application φ définie sur un espace vectoriel E et à valeurs dans un espace vectoriel F, ces deux espaces vectoriels étant définis sur un corps K.
Pour démontrer que φ est linéaire, il suffit de montrer que pour tout (λ, u, v) ∈ K × E2, φ(λu + v) = λ φ(u) + φ(v).
Pour démontrer que φ n’est pas linéaire, il suffit de démontrer l’une des propriétés suivantes (elles ne sont pas nécessairement toutes satisfaites simultanément) :
Pour montrer que φ définit un endomorphisme, on vérifie que φ est linéaire et que son image est incluse dans son espace de définition.
Pour montrer que φ définit un isomorphisme, on vérifie que φ est linéaire et bijective.
Pour montrer que φ définit un automorphisme, on vérifie que φ est linéaire, injective et que son image est égale à son espace de définition.
Pour montrer que φ définit un forme linéaire, on vérifie que φ est linéaire et que ses valeurs sont dans le corps sous-jacent.
Pour montrer que φ est un projecteur, on vérifie qu’elle est un endomorphisme et satisfait la relation φ ∘ φ= φ
Si φ est linéaire, on détermine son noyau Ker φ en résolvant l’équation φ(x) = 0 d’inconnue x ∈ E.
Ce noyau est un sous-espace vectoriel de E, qui est souvent décrit par ainsi par un système d’équations linéaires. Il est parfois utile d’en donner une base.
Si φ est linéaire, son image im(φ) est aussi un sous-espace vectoriel de F, correspondant à l’ensemble des éléments de F ayant un antécédent par φ.
On peut donc déterminer cette image en cherchant des conditions nécessaires et suffisantes sur y ∈ F pour que l’équation φ(x) = y admette une solution x ∈ E.
Si E est muni d’une base (e1, … , en), on peut aussi décrire l’image de φ par im(φ) = Vect(φ(e1), … , φ(en)).
Si les espaces E et F sont munis de bases respectives (e1, … , ep) et (e′1, … , e′n), la matrice représentative d’une application linéaire φ ∈ L(E, F) est la matrice représentant la famille (φ(e1), … , φ(ep)) dans la base (e′1, … , e′n).
Si l’application φ est linéaire, son rang est la dimension de son espace image rg(φ) = dim(im(φ)). Si l’espace vectoriel E est muni d’une base (e1, … , en), le rang de φ est donc aussi celui de la famille (φ(e1), … , φ(en)).
Si g est une application linéaire injective définie sur F alors rg(φ) = rg(g ∘ φ).
Si f est une application linéaire surjective à valeurs dans E alors rg(φ) = rg(φ ∘ f).
Si E est de dimension finie, alors le rang de φ est lié à la dimension du noyau par le théorème du rang dim(E) = dim(Ker φ) + rg(φ).
Si E et F sont tous deux de dimension finie, alors le rang de φ est celui de sa matrice représentative pour n’importe quel choix de base dans les deux espaces E et F.