Si un espace vectoriel E est muni d’une base (e1, … , en) alors sa dimension est le nombre de termes de la base : dim E = n.
Pour obtenir une telle base, on peut essayer de trouver une famille génératrice 𝓤 = (u1, … , up), puis on élimine itérativement tous les vecteurs de cette famille qui seraient liés aux vecteurs précédents.
On note donc e1 le premier vecteur non nul de la famille, puis on note e2 le premier vecteur non colinéaire à e1, puis pour chacun des vecteurs suivants de la famille 𝓤, s’il est linéairement indépendant des vecteurs e1, e2, …, on l’adjoint à cette famille.
Une fois que l’on a traité le dernier vecteur up, la famille (e1, … , en) est une base de E.
L’ensemble C des nombres complexes constitue un espace vectoriel réel de dimension 2 mais c’est un espace vectoriel complexe de dimension 1.
Soit (n, p) ∈ (N∗)2. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps K. On a les dimensions des espaces de référence suivants.
| Nom | Notation | Dimension |
|---|---|---|
| Espace nul | {0} | 0 |
| Espace des vecteurs colonnes à n composantes | Kn | n |
| Espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n | Kn[X] | n + 1 |
| Espace des matrices à n lignes et p colonnes | 𝓜n,p(K) | n × p |
| Espace des matrices carrées de taille n | 𝓜n(K) | n2 |
| Espace des applications linéaires entre E et F | L(E, F) | dim(E) × dim(F) |
| Espace des endomorphismes de E | L(E) | dim(E)2 |
| Espace des formes linéaires sur E | E∗ = L(E, K) | dim(E) |
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie, leur somme et leur intersection sont aussi de dimension finie et on peut appliquer la formule de Grassmann dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G).
En particulier, si F et G sont deux sous-espaces supplémentaires dans un espace E de dimension finie, alors dim(E) = dim(F) + dim(G).
Si φ est une application linéaire définie sur un espace vectoriel E de dimension finie alors son noyau et son image sont aussi de dimension finie et on a le théorème du rang : dim(E) = dim(Ker(φ)) + dim(im(φ)).
En particulier, s’il existe un isomorphisme entre deux espaces vectoriels E et F et que l’un de ces deux espaces est de dimension finie alors l’autre est aussi de dimension finie et on a dim E = dim F.