On considère un espace vectoriel E sur un corps K et une famille (u1, … , up) de vecteurs de E.
Pour montrer que la famille (u1, … , up) est libre, la méthode la plus courante consiste à écrire « Soit (λ1, … , λp) ∈ Kp tel que ∑j=1p λjuj = 0 » puis à démontrer que pour tout j ∈ [[1 ; p]] on a λj = 0.
Si l’un des vecteurs de la famille est nul ou si un même vecteur apparait plusieurs fois dans la famille, alors la famille est forcément liée (c’est-à-dire non libre).
Si la famille n’est constituée que de deux vecteurs, elle est liée si et seulement si les vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire si l’un des deux peut être obtenu à partir de l’autre par multiplication scalaire.
En général, la combinaison linéaire nulle se traduit par un système d’équations linéaires que l’on résout. Si le système a des variables libres, il y a des solutions non nulles et la famille n’est pas libre.
S’il existe une application linéaire f définie sur E telle que la famille (f(u1), … , f(up)) soit libre, alors la famille (u1, … , up) est libre.
L’image d’une famille libre par une application linéaire injective est une famille libre.
Pour montrer que la famille (u1, … , up) est génératrice de E, on peut écrire « Soit x ∈ E et (λ1, … , λp) ∈ Kp. On résout l’équation ∑j=1p λjuj = x » et on montre que l’équation a au moins une solution.
Si la famille (u1, … , up) est libre, il suffit de montrer que la dimension de E est égale à p pour montrer que la famille est une base de E (donc est génératrice).
Si tous les vecteurs de la famille appartiennent à un sous-espace vectoriel strict de E, cette famille ne peut pas être génératrice de E.
L’image d’une famille génératrice par une application linéaire surjective dans E est génératrice dans E.
Démontrer que la famille (u1, … , up) forme une base de E revient formellement à monter qu’elle est à la fois libre et génératrice dans E. Mais si l’espace E a pour dimension le nombre des termes de la famille (ici p), il suffit de démontrer seulement l’une ou l’autre propriété.
L’image d’une base par un isomorphisme est encore une base.
Si l’espace E est muni d’une base (e1, … , en), chaque vecteur uj s’écrit de façon unique comme une combinaison linéaire ∑i=1n λiei et peut donc être représenté par un vecteur colonne composé de ses coordonnées [[λ1] … [λn]].
Pour obtenir la matrice représentative d’une famille (u1, … , up) de vecteurs sur une base on juxtapose horizontalement les p vecteurs colonnes représentant les vecteurs uj pour former une matrice avec n lignes et p colonnes.
Par définition, le rang d’une famille de vecteurs est la dimension de l’espace qu’elle engendre : rg(u1, … , up) = dim Vect(u1, … , up).
Si E est de dimension finie, le rang de la famille correspond aussi au rang de sa matrice représentative de la famille dans n’importe quelle base de E.