Exercices sur les nombres réels

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Cours

Compétences activées

Calcul

Opérations sur les fractions

Calculer le résultat de chacune des opérations suivantes sous forme d'une fraction irréductible.

Réduction de radicaux

Réduire la racine carrée des entiers suivants grâce à la décomposition en facteurs premiers.

Algèbre élémentaire

Développement

Développer les expressions suivantes avec des variables réelles :

Factorisation

Factoriser autant que possible les expressions polynomiales suivantes avec x ∈ R :

Pour la dernière expression, on pourra introduire le terme manquant pour reconnaitre une formule d’identité remarquable.

Équations

Résoudre les équations suivantes avec une inconnue réelle en précisant à chaque fois l'ensemble d'étude et l'ensemble solution.

Analyse algébrique

Comparaison de nombres

Exercice
Ordonner les réels suivants dans l'ordre croissant.
Exercice
Comparer les deux réels 3,14 et √10. L’écart entre les deux est-il inférieur à 10−2 ?

Tableau de signe

Dresser le tableau de signe des expressions suivantes en précisant leur domaine de définition dans R.

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes avec une inconnue réelle en précisant à chaque fois l'ensemble d'étude et l'ensemble solution.

Sommes

Exercice
Développer (1 + √2)5.
Exercice
Calculer pour tout n ∈ N la somme ∑k=0n (kn) 2k.
Exercice
Calculer ∑i=0n−1 ∑k=1n−i1, puis exprimer sans symbole somme le réel ∑i=0n−1 ∑k=1n−i ai bk où a et b sont deux réels différents de 1
ENS 2006 problème 1

Majoration et minoration

  1. Justifier que l’ensemble A = {2n − 5/8n + 3, n ∈ N} est bien défini.
  2. L’ensemble A est-il minoré par 0 ?
  3. Montrer que A admet un minimum en précisant sa valeur.
  4. Montrer que A est majoré par 1/4. Est-ce le maximum de A ?

Valeur absolue

Résoudre les équations et inéquations suivantes.

Démonstration de formules

Exercice
Démontrer que pour tout entier n, si n est pair alors (−1)n = 1
et si n est impair alors (−1)n = −1.
Exercice
Démontrer que pour tout x ∈ R+ on a √x ≤ x + 1/2.
Exercice
Montrer que pour tout entier n ≥ 1, et pour tout s ∈ R, on a (1 − s)2 (∑i=1n isi−1) = 1 − sn(1 + n − sn).
ENS 2016 exercice 1 question 2
Exercice
Soit u ∈ R+. Montrer que pour tout entier d > 4u2 et pour tout i ∈ ⟦0, ⌊u√d⌋⟧ on a i/d ≤ 1/2.
ENS 2016 question 11
Exercice
  1. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a 1 − x2 ≤ 1/1 + x2 ≤ 1 − x2 + x4.
  2. Plus généralement, montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a ∑k=02j−1 (−1)k x2k ≤ 1/1 + x2 ≤ ∑k=02j (−1)k x2k.
ENS 2015 exercice 1 questions 6 et 8
Exercice
Montrer que pour tout y ∈ ]0 ; 1[ on a les inégalités 1 ≤ 1/√1 − y ≤ 1 + y/2(1 − y)−3/2.
ENS 2013 exercice 2 question 4
Exercice
Pour tout x ∈ ]0 ; 1[ et pour tout k ≥ 2, |2x/x2 − k2| ≤ 8/3k2.
ENS 2010 exercice I question 10
Exercice
Pour tout (x, n) ∈ (R ∖ Z) × N∗, démontrer l’égalité ∑k=−nn 1/x + k = 1/x + ∑k=1n 2x/x2 − k2.
ENS 2010 exercice I question 5
Exercice
Démontrer les formules suivantes pour tout n ∈ N∗ :

Problèmes

Problème : Algorithme de Héron

L'algorithme de Héron donne ces premières approximations de √2 :

  1. Réduire les expressions de ces trois valeurs et les placer sur un axe orienté en justifiant l'ordre annoncé.
    Montrer aussi que √2 est strictement compris entre x1 et x3.
  2. Montrer que la première approximation est la partie entière de √2.
  3. Montrer que pour la dernière approximation, l'erreur absolue est inférieure à 0,1.
Problème : Suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont les quotients de termes successifs se rapprochent du nombre d’or. Ses premiers termes s’écrivent : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en calculant chaque terme comme la somme des deux termes précédents.
  1. Calculer les trois termes suivants de la suite.
  2. Comparer les trois quotients 5/3, 8/5 et 13/8.
  3. Vérifier que l’équation x − 1 = 1/x a une seule solution positive que l’on notera φ.
  4. Calculer φ2.
  5. Comparer la valeur de φ avec celles des quotients de la question 2 puis représenter ces quatre nombres sur axe orienté.
Problème : Nombres de Pell

Les nombres de Pell forment une suite de nombres entiers dans laquelle chaque nombre est la moitié de la différence entre le nombre qui précède et celui qui suit. Ses premiers termes s’écrivent : 0, 1, 2, 5, 12, 29, …. On peut vérifier que 5 = (12 − 2)/2 et 12 = (29 − 5)/2.

  1. Déterminer la valeur du nombre qui suit 29 dans cette suite.
  2. Comparer les trois quotients 5/2, 12/5 et 29/12.
  3. Vérifier que l’équation x − 2 = 1/x a une seule solution positive que l’on notera α.
  4. Calculer α2.
  5. Comparer la valeur de α avec celles des quotients de la question 2 puis représenter ces quatre nombres sur axe orienté.
Problème : Racine carrée de 3

L’objectif de cet exercice est de démontrer l’existence et l’unicité de la racine carrée de 3. On n’y utilisera donc pas les propriétés de la racine carrée vues en cours.

On pose A = {a ∈ R+ : a2 ≤ 3}.

  1. Justifier que 0 ∈ A.
  2. Pour tout a ∈ A, montrer que a ≤ 2.
    En déduire que A admet une borne supérieure.
  3. On pose r = sup(A). Montrer que 1 ≤ r ≤ 2.
  4. Montrer que [0 ; r[ ⊂ A.
  5. Soit n ∈ N∗. Montrer que r − 1/n ∈ A, puis (r − 1/n)2 ≤ 3, puis r2 − 3 ≤ 4/n.
  6. Justifier que inf({4/n, n ∈ N∗}) = 0. En déduire r ∈ A.
  7. Montrer de même que pour tout n ∈ N∗ on a (r + 1/n)2 ≥ 3 d’où 3 − r2 ≤ 5/n.
  8. En déduire r2 = 3.
Problème : Somme et produit de trois entiers
Soit N un entier naturel non nul. On cherche les solutions entières de l’équation N × (a + b + c) = a × b × c avec 1 ≤ a ≤ b ≤ c.
  1. Calculer c en fonction des autres variables pour avoir une solution.
  2. Déduire de l’inégalité b ≤ c une inégalité du second degré en b.
  3. En déduire une majoration de b en fonction de N et a.
  4. Déduire de l’inégalité a ≤ b une majoration de a en fonction de N.

Ajouts

Exercice
BCE 2020 exercice 2 question 2a
Montrer que pour tout entier naturel n > 0 on a ∏k=12n (1 + (−1)k/k) = 1 + 1/2n
Exercice
BCE 2020 exercice 2 question 3a
Soit a ∈ ]0, 1[. Montrer que pour tout entier naturel n > 0 on a (1 − a2)∏k=12n (1 + a2k) = 1 − a2n+1
Exercice
Montrer que pour tout n ≥ 2 on a ∑k=2n (2 parmi k) = (n3 − n)/6.
Exercice : Inégalité arithmético-géométrique

Soit u et v deux réels strictement positifs tels que u < v. Montrer les inégalités u < √uv < (u + v)/2 < v.