Corps des nombres réels

Les nombres réels peuvent se concevoir comme les nombres s’écrivant avec un signe (positif ou négatif), un nombre fini de chiffres avant la virgule et une suite infinie de chiffres (éventuellement nuls) après la virgule.

Structure algébrique

Définitions

L’ensemble R, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un corps commutatif, c'est-à-dire qu'il satisfait les propriétés suivantes :

l'addition et la multiplication sont associatives
l'addition et la multiplication sont commutatives
la multiplication est distributive par rapport à l'addition
l'addition et la multiplication admettent des neutres notés respectivement 0 et 1
tout nombre réel a admet un opposé (symétrique pour l'addition) noté −a qui vérifie a + (−a) = (−a) + a = 0 ;
tout nombre réel a ≠ 0 admet un inverse (symétrique pour la multiplication) noté a⁻¹ avec a × a⁻¹ = 1.

Pour tout couple de réels (a, b), on définit alors la différence a − b = a + (−b), résultat de la soustraction et si b ≠ 0, le quotient a/b = a / b = a × b⁻¹ est le résultat de la division.

Pour tout réel a, on définit aussi son carré a² = a × a.

Premières propriétés

Tout nombre réel a un seul opposé et tout nombre réel non nul a un seul inverse.

Tout nombre réel est l'opposé de son opposé.

Le nombre 0 est absorbant pour la multiplication : pour tout réel a, on a 0 × a = 0, donc 0 n'a pas d'inverse.

On en déduit aussi que pour tout réel a, on a −a = (−1) × a et en particulier, (−1)² = (−1) × (−1) = −(−1) = 1.

On trouve aussi que l'inverse d'un nombre réel non nul n'est jamais nul et que tout nombre réel non nul est l'inverse de son inverse.

Changement de signe: Pour tout (a, b) ∈ R², on a −(a + b) = −a − b et −(a − b) = −a + b.

Identités remarquables

Pour tout (a, b) ∈ R², on a :

(a + b)² = a² + b² + 2ab
(a − b)² = a² + b² − 2ab
(a + b)(a − b) = a² − b².

Règle d’annulation du produit: Le produit de deux réels est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul.

Fractions

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R⁴ tel que c ≠ 0 et d ≠ 0, on a les propriétés suivantes.

Caractérisation de l'égalité avec les produits en croix

a/c = b/d ⇔ ad = bc

Propriétés de calcul

a = a/1
a/c × b/d = ab/cd
a/c + b/c = (a + b)/c
a/c + b/d = (ad + bc)/cd
−a/b = −a/b = a/−b
1/(c/d) = d/c.

Relation d’ordre total

L'ensemble R est muni d'un ordre total. On dit qu'un réel est positif s'il est supérieur ou égal à 0. Il est négatif s'il est inférieur ou égal à 0. En particulier, 0 est le seul réel qui soit à la fois positif et négatif.

Règles de compatibilité

Les opérations d’addition et de multiplication sont compatibles avec la relation d’ordre total, c’est-à-dire qu’on a pour tout (a, b, c) ∈ R³ :

si a ≤ b alors a + c ≤ b + c ;
si a ≥ 0 et b ≥ 0 alors ab ≥ 0.

La règle de compatibilité avec l’addition aboutit aux propriétés suivantes.

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R⁴ :

si a ≤ b et c ≤ d alors a+c ≤ b+d
si a < b et c ≤ d alors a+c < b+d
on a les équivalences a ≤ b ⇔ −a ≥ −b
et a < b ⇔ −a > −b.

En particulier, l'opposé d'un réel positif est négatif, et réciproquement.

La deuxième règle de compatibilité donne alors la règle des signes.

Règle des signes
×	+	−
+	+	−
−	−	+

Règle des signes: Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif ; le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

En particulier, tout carré est positif, donc 1 est positif.

Cette règle permet aussi de démontrer les propriétés suivantes.

Pour tout (a, b, c, d) ∈ R⁴ :

si a ≤ b et c ≥ 0 alors a×c ≤ b×c
si a < b et c > 0 alors a×c < b×c
si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors a×c ≤ b×d.

On a les équivalences suivantes :

pour tout (a, b) ∈ (R^∗+)², a ≤ b ⇔ 1/a ≥ 1/b
pour tout (a, b) ∈ (R⁺)², a ≤ b ⇔ a² ≤ b².

Intervalles

Pour tout (a, b) ∈ R² tel que a < b, on définit quatre intervalles d’extrémités a et b, qui sont :

fermé: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
ouvert: ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}
semi-ouvert à gauche: ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
semi-ouvert à droite: [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}

Pour tout a ∈ R on définit aussi deux intervalles fermés [a, +∞[ = {x ∈ R : a ≤ x} et ]−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a} et deux intervalles ouverts ]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} et ]−∞, a[ = {x ∈ R : x < a}.

Les éléments −∞ et +∞ ne représentent pas des réels, mais peuvent être conçus comme des éléments supplémentaires d'un ensemble appelé droite réelle continuée et noté ¯R.

L'ensemble R = ]−∞ ; +∞[ est aussi un intervalle (à la fois ouvert et fermé), de même que les intervalles dégénérés que sont le vide et les singletons de la forme {a}.

On note aussi R₊ = {x ∈ R : x ≥ 0} = [0 ; +∞[ et R₋ = {x ∈ R : x ≤ 0} = ]−∞ ; 0]. Un éventuel astérisque indique que l’on exclut 0 : R* = {x ∈ R : x ≠ 0} = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[.

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b.
L'intervalle ]a, b[ contient le réel (a + b)/2 donc il est non vide.

Majoration, minoration et extremum

Soit A une partie de R.
Elle est dite minorée s'il existe m ∈ R tel que pour tout x ∈ A, on ait m ≤ x.
Elle est dite majorée s'il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ A, on ait x ≤ M.
Elle est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Un maximum (ou plus grand élément) de A est un majorant de A qui appartient à A.
Un minimum (ou plus petit élément) de A est un minorant de A qui appartient à A.

Toute partie d'une partie minorée (resp. majorée, resp. bornée) l'est aussi.
L'union de deux parties minorées (resp. majorées, resp. bornées) l'est aussi.
Toute partie majorée admet plusieurs majorants distincts et toute partie minorée admet plusieurs minorants distincts.

L'intervalle ]0 ; 1] est majoré par 1 (mais aussi par 2 et par tout nombre plus grand que 1), minoré par 0 (mais aussi par tout nombre négatif). Il admet 1 comme maximum mais n'admet pas de minimum.

Une partie ne peut admettre deux maximums distincts, ni deux minimums distincts.

On note respectivement max(A) et min(A) le maximum et le minimum d'une partie A de R, lorsqu'ils existent.

Pour toute partie A de R, on appelle symétrique de A l'ensemble {−x, x ∈ A}. On dit que la partie A est symétrique par rapport à 0 si elle est son propre symétrique.

Racine carrée

Définition et premières propriétés

Pour tout x ∈ R₊ il existe un unique r ∈ R₊ tel que r² = x. On le note √x et on l'appelle racine carrée de x.

En particulier, on a √0 = 0 et √1 = 1.

Opérations sur les radicaux: Pour tout (a, b) ∈ (R⁺)² on a √(a × b) = √a × √b et si b > 0, √(a/b) = √a / √b
Inégalités avec les radicaux: Pour tout (a, b) ∈ (R⁺)², on a l'équivalence a ≤ b ⇔ √a ≤ √b.
Pour tout a ∈ ]0 ; 1[, on a √a > a
et pour tout a ∈ ]1 ; +∞[, on a √a < a.

Trinôme du second degré

Un trinôme du second degré à coefficients réels en la variable x est une expression s'écrivant sous la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont trois réels indépendants de x avec a ≠ 0. Dans ce cas, le réel Δ = b² − 4ac est appelé discriminant du trinôme.

L'équation ax² + bx + c = 0 d’inconnue x est alors appelée équation du second degré et ses solutions sont les racines du trinôme.

On distingue trois cas.

Si Δ > 0, le trinôme se factorise sous la forme a(x + b/2a + √Δ/2a) (x + b/2a − √Δ/2a) et il y a exactement deux racines réelles distinctes qui sont −b − √Δ/2a et −b + √Δ/2a.
Si Δ = 0, le trinôme se factorise en a(x + b/2a)² et il a une seule racine réelle qui est −b/2a.
Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de racine réelle.

Soit (a, b, c) ∈ R* × R². On note Δ = b² − 4ac.

Pour tout x ∈ R on a ax² + bx + c = a(x² + b/a x + c/a) = a((x + b/2a)² − b²/4a² + 4ac/4a²)
= a((x + b/2a)² − Δ/4a²) dont la dernière forme est appelée forme canonique et on se ramène bien à l'un des trois cas suivants.

Si Δ > 0, les identités remarquables aboutissent à la factorisation annoncée.
Si Δ = 0, la forme canonique est déjà factorisée.
Si Δ < 0, alors pour tout x ∈ R on a ((x + b/2a)² − Δ/4a²) ≥ −Δ/4a² > 0 donc l’équation n’a pas de solution réelle.

Le signe d'un trinôme du second degré ax² + bx + c est du signe de son coefficient dominant a sauf entre ses éventuelles racines.

On distingue deux cas en fonction du signe du discriminant.

Si Δ > 0, on note x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₁ = (−b + √Δ)/(2a) d'où on tire les tableaux de signes suivants.
si a > 0
x −∞ x₁ x₂ +∞

a + + +

x − x₁ − 0 + +

x − x₂ − − 0 +

ax² + bx + c + 0 − 0 +

si a < 0
x −∞ x₂ x₁ +∞

a − − −

x − x₁ − − 0 +

x − x₂ − 0 + +

ax² + bx + c − 0 + 0 −
Si Δ ≤ 0, d'après la mise sous forme canonique, le trinôme est toujours du signe de a.

si `a` > 0
`x`		`x₁`		`x₂`
`a`	+		+		+
`x` − `x₁`	−	0	+		+
`x` − `x₂`	−		−	0	+
`ax`² + `bx` + `c`	+	0	−	0	+

si `a` < 0
`x`		`x₂`		`x₁`
`a`	−		−		−
`x` − `x₁`	−		−	0	+
`x` − `x₂`	−	0	+		+
`ax`² + `bx` + `c`	−	0	+	0	−

Ensembles de nombres

L'ensemble N des entiers naturels peut être caractérisé dans l'ensemble R des nombres réels comme la plus petite partie (au sens de l'inclusion) vérifiant les conditions suivantes :

0 ∈ N
∀ n ∈ N, n + 1 ∈ N.

On peut en déduire les axiomes de N.

Toute partie non vide admet un plus petit élément.
Toute partie majorée et non vide admet un plus grand élément.
Il n'existe pas d'entier maximal.

À partir de cet ensemble, on peut définir Z = N ∪ {−n, n ∈ N}, ensemble des entiers relatifs, et Q = {p/q, (p, q) ∈ Z × N^∗}, ensemble des rationnels.

On obtient la série d'inclusions N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R qui sont toutes strictes. En effet, on démontre

−1 ∈ Z \ N
1/3 ∈ Q \ Z
√2 ∈ R \ Q.

On définit aussi pour tout (n, p) ∈ Z² l'intervalle d'entiers [[n, p]] = [n, p] ∩ Z.

L'ensemble Z est un groupe abélien pour l'addition, c'est-à-dire que :

l'addition est associative et commutative,
il existe un neutre pour l'addition (0),
tout élément a un symétrique pour l'addition.

On obtient aussi les propriétés suivantes.

Toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément.
L'ensemble Z n'est pas minoré dans R.

Pour tout réel x, le plus grand entier relatif inférieur à x est appelé partie entière de x et noté E(x) ou ⌊x⌋.

Pour tout x ∈ R on a E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Pour tout x ∈ R, la différence x − E(x) ∈ [0 ; 1[ est la partie fractionnaire de x.

Puissance d'un nombre

On définit par récurrence les puissances de tout nombre réel a par a⁰ = 1 et pour tout n ∈ N, aⁿ⁺¹ = aⁿ × a.

Opérations sur les puissances

Pour tout (a, b, n, p) ∈ R² × N²,

on a a^n+p = aⁿ × a^p et (aⁿ)^p = a^n×p
on a (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
si b ≠ 0 alors (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
si a ≥ 0 alors √(aⁿ) = (√a)ⁿ.

Inégalités sur les puissances

Pour tout (a, b, n, p) ∈ R² × N²,

si 0 ≤ a < b et n > 0 alors 0 ≤ aⁿ < bⁿ
si a ≥ 1 et n ≥ p alors aⁿ ≥ a^p
si a > 1 et n > p alors aⁿ > a^p
si 0 ≤ a ≤ 1 et n ≥ p alors aⁿ ≤ a^p
si 0 < a < 1 et n > p alors aⁿ < a^p

Puis on définit pour tout (b, n) ∈ R* × N*, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, ce qui permet de généraliser les formules d'opérations sur les puissances avec des exposants entiers relatifs, à condition que la base soit non nulle.

Inégalité de Bernoulli: Pour tout x ∈ R tel que x ≥ −1, pour tout n ∈ N, on a (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Soit x ∈ R tel que x ≥ −1. On procède par récurrence.

On a (1 + x)⁰ = 1 = 1 + 0x donc la propriété est vraie au rang 0.

Soit n ∈ N tel que (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. On a (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ(1 + x) or 1 + x ≥ 0 donc on trouve (1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Finalement, par principe de récurrence, l’inégalité est vraie pour tout n ∈ N.

Valeur absolue

Formulation analytique

La valeur absolue d’un réel x se note |x| et est définie par : |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x sinon.

Pour tout x ∈ R on a l’égalité |x| = |−x| et les inégalités : |x| ≥ 0 et −|x| ≤ x ≤ |x|.

Soit x ∈ R. On distingue deux cas.

Si x ≥ 0 alors −x ≤ 0 donc |−x| = x = |x| donc |x| = x ≥ 0 et −|x| ≤ 0 ≤ x = |x|.
Si x ≤ 0 alors −x ≥ 0 donc |−x| = −x = |x| donc |x| = −x ≥ 0 et −|x| = x ≤ 0 ≤ |x|.

Relations algébriques

Pour tout (x, y) ∈ R², |x × y| = |x| × |y|
et si y ≠ 0, |x/y| = |x| / |y|.

On distingue les quatre cas selon les signes de x et de y.

Inégalité triangulaire: Pour tout (x, y) ∈ R², on a |x + y| ≤ |x| + |y| avec égalité si et seulement si x et y sont de même signe.

Puisque les deux expressions sont positives, l'inégalité est équivalente à (x + y)² ≤ (|x| + |y|)²
⇔ x² + y² + 2xy ≤ x² + y² + 2|xy|
⇔ 2xy ≤ 2|xy|, ce qui est vrai d'après la propriété précédente. Le cas d'égalité correspond aux relations xy = |xy| ⇔ xy ≥ 0 ce qui donne la condition annoncée par règle des signes.

Équations et inéquations

On démontre les résultats suivants pour tout (A, B) ∈ R².

Si B > 0 alors on a |A| = B ⇔ A = B ou A = −B
Si B < 0 alors l'équation |A| = B n'a pas de solution.
|A| ≤ B ⇔ −B ≤ A ≤ B
|A| ≥ B ⇔ A ≥ B ou A ≤ −B