Analyse globale

Valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI): Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.

Supposons k < f(b). On peut poser par exemple A = {x ∈ [a, b] : f(x) ≤ k} et c = sup A. On raisonne alors par l’absurde.

Si f(c) < k alors c < b et par continuité de f on a f(x) < k pour tout x au voisinage à droite de c, ce qui contredit le fait que c soit un majorant de l’ensemble A.
Si f(c) > k alors c > a et par continuité de f on a f(x) > k pour tout x au voisinage à gauche de c, donc il existerait d’autres majorants de A strictement inférieurs à c.

Corolaire

L’image d’un intervalle réel par une fonction réelle continue est un intervalle.

Soit I un intervalle réel. Soit f une fonction réelle continue sur I. Soit (x, y, z) ∈ R³ tel que x ∈ f(I), y ∈ f(I) et x ≤ z ≤ y.

Il existe (a, b) ∈ I² tel que x = f(a) et y = f(b) donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c entre a et b tel que z = f(c), donc z ∈ f(I).

Remarque

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle définie sur [a, b]. Le théorème des valeurs intermédiaires démontre l’inclusion [f(a) , f(b)] ⊂ f([a, b]) mais l’inclusion réciproque est fausse en général.

Extension du théorème des valeurs intermédiaires: Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle I et admettant des limites aux bornes de I.
Tout réel strictement compris entre les limites aux bornes admet au moins un antécédent par f.

Si la fonction f a la même limite aux deux bornes de I, la propriété est vraie. Sinon, on note m la plus petite de ces limites et M la plus grande.

Soit k ∈ ]m, M[. Il existe (a, b) ∈ I² tel que m < f(a) < k < f(b) < M, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel c entre a et b tel que f(c) = k.

La propriété suivante constitue une réciproque partielle du corolaire du théorème des valeurs intermédiaires. Elle est utilisée dans la démonstration du théorème de la bijection.

Propriété

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle réel I non dégénéré et monotone. Si f(I) est un intervalle alors f est continue.

On démontre la propriété d’abord dans le cas où f est croissante. Dans le cas où f est décroissante, il suffira d’appliquer la propriété à −f.

Soit x₀ ∈ I. Soit J = ]a, b[ un intervalle ouvert contenant f(x₀). On a donc a < f(x₀) < b.

Si a ∈ f(I) alors par hypothèse il existe a′ ∈ I tel que a < f(a′) < f(x₀). Sinon on pose a′ = −∞
Dans les deux cas, on obtient que pour tout x ∈ I, si x > a′ alors f(x) > a.

De même, si b ∈ f(I) alors il existe b′ ∈ I tel que f(x₀) < f(b′) < b. Sinon on pose b′ = +∞
Dans les deux cas, on obtient que pour tout x ∈ I, si x < b′ alors f(x) < b.

Par conséquent, pour tout x ∈ ]a′, b′[ ∩ I, on trouve a < f(x) < b.

Finalement, la fonction f est bien continue.

Théorème de la bijection: Soit f fonction réelle continue et strictement monotone sur un intervalle réel I non dégénéré. La fonction f induit une bijection continue entre les intervalles I et f(I) avec une réciproque continue et strictement monotone de même sens de variation que f.

La fonction f est strictement monotone donc injective or elle est nécessairement surjective sur son image qui est un intervalle d’après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires. On distingue deux cas selon le sens de variations de f.

Si f est strictement croissante alors pour tout (a, b) ∈ I² on a les équivalences f⁻¹(a) < f⁻¹(b) ⇔ f(f⁻¹(a)) < f(f⁻¹(b)) ⇔ a < b donc f⁻¹ est strictement croissante.

Si f est strictement décroissante alors pour tout (a, b) ∈ I² on a les équivalences f⁻¹(a) < f⁻¹(b) ⇔ f(f⁻¹(a)) > f(f⁻¹(b)) ⇔ a > b donc f⁻¹ est strictement décroissante.

Dans les deux cas, la réciproque est strictement monotone avec un intervalle pour image donc elle est continue.

En particulier, ce théorème de la bijection s’applique aux fonctions puissances pour montrer que pour tout n ∈ N*,

si n est impair, pour tout x ∈ R, il existe un unique r ∈ R tel que rⁿ = x ;
si n est pair, pour tout x ∈ R⁺, il existe un unique r ∈ R⁺ tel que rⁿ = x.

Dans les deux cas, ce réel r est appelé racine n-ième de x et se note ⁿ√x.

Bornes et accroissements finis

Théorème des bornes: Toute fonction réelle continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Soit (a, b) ∈ R² tel que a < b. Soit f une fonction réelle continue sur [a, b].

On note A = {x ∈ [a, b] : f est bornée sur [a, x]}. Cet ensemble contient a donc il est non vide et il est majoré par b. On peut donc noter c = sup(A).

La fonction f étant continue en c, elle est bornée sur un intervalle ouvert contenant c. Or elle est bornée à gauche de cet intervalle donc elle est bornée sur [a, c].

Supposons c < b. Comme la fonction est bornée au voisinage de c, il existe d ∈ ]c, b[ tel que la fonction est bornée aussi sur [c, d]. Donc la fonction est bornée sur [a, d], ce qui est contradictoire avec la définition de c.

On obtient donc c = b donc la fonction est bornée sur [a, b].

On pose alors pour tout x ∈ [a, b], g(x) = sup({f(t), t ∈ [a, x]}) et pour tout x < a, g(x) = f(a). En particulier, on trouve g(b) = sup(f).

La fonction g est croissante et on pose s = inf({x ∈ [a, b] : g(x) = g(b)}.

Supposons f(s) < g(b). Il existe m ∈ ]f(s), g(b)[ et par continuité la fonction f est majorée par m sur un intervalle [s − ε, s + ε] et par g(s − ε) à gauche de cet intervalle, donc g(s + ε) < g(b), ce qui est contradictoire avec la définition de s.

Finalement, on trouve f(s) = sup(f) et on applique la propriété à −f pour démontrer que la borne intérieure est atteinte également.

Corolaire

L’image d’un segment réel par une fonction réelle continue est un segment.

Théorème de Rolle: Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b).
Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = 0.

Démonstration

Il existe (c, c′) ∈ [a, b]² tel que f(c) = min_{[a, b]} f et f(c′) = max_{[a, b]} f.

En particulier, on a f(c) ≤ f(a) ≤ f(c′). On distingue alors trois cas.

Si f(c) < f(a) alors c ∈ ]a, b[ et d’après l’annulation de la dérivée en un extremum local, on trouve f′(c) = 0.
De même, si f(c′) > f(a) alors c′ ∈ ]a, b[ donc f′(c′) = 0.
Enfin, si f(c) = f(a) = f(c′) alors la fonction f est constante donc de dérivée nulle sur l’intervalle ]a, b[.

Théorème des accroissements finis: Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Démonstration

On applique le théorème de Rolle à une fonction associée à f par transformation affine.

On pose pour tout x ∈ [a, b], g(x) = f(x) − (f(b) − f(a)) / (b − a) x.

La fonction g est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[
avec g(a) = b − a) × f(a) − (f(b) − f(a)) × a/b − a) = b f(a) − a f(b)/b − a)
et g(b) = ((b − a) × f(b) − (f(b) − f(a)) × b) / (b − a) = (b f(a) − a f(b)) / (b − a).

Par conséquent, d’après le théorème de Rolle il existe c ∈ ]a, b[ tel que g′(c) = 0.

Or g′(c) = f′(c) − (f(b) − f(a)) / (b − a) donc on trouve f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a).

Inégalité des accroissements finis: Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

S’il existe (m, M) ∈ R² tel que pour tout x ∈ ]a, b[ on a m ≤ f′(x) ≤ M alors on obtient m(b − a) ≤ f(b) − f(a) ≤ M(b − a).

Démonstration

D’après l’égalité des accroissements finis, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = f(b) − f(a) / b − a or par hypothèse on a m ≤ f′(c) ≤ M donc on obtient les inégalités souhaitée en multipliant par (b − a).

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle et dérivable à l’intérieur de celui-ci.

Si la dérivée est (strictement) positive alors la fonction est (strictement) croissante.

Si la dérivée est (strictement) négative alors la fonction est (strictement) décroissante.

Si la dérivée est nulle alors la fonction est constante.

Théorème de la limite de la dérivée

Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.

Si la dérivée f′ admet une limite finie en a (resp. en b), alors la fonction f est aussi dérivable en a (resp. en b) et on a f′(a) = lim_x→a f′(x) (resp. f′(b) = lim_x→b f′(x)).

Si la dérivée f′ admet une limite infinie en a (resp. en b), alors le taux d’accroissement (f(a+h) − f(a)) / h (resp. (f(b+h) − f(b)) / h) tend vers la même limite lorsque h tend vers 0.

Supposons d’abord que f′ admette une limite finie L ∈ R en a.

On pose pour tout x ∈ ]a, b[, g(x) = f(x) − Lx. La fonction g est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et pour tout x ∈ ]a, b[, on a g′(x) = f′(x) − L.

Soit ε ∈ R^∗+. Il existe δ ∈ R^∗+ tel que pour tout x ∈ ]a, a + δ[, on ait L − ε ≤ f′(x) ≤ L + ε donc |g′(x)| ≤ ε.

Par conséquent, pour tout x ∈ ]a, a + δ[, on a d’après l’inégalité des accroissements finis, |(g(x) − g(a)) / (x − a)| ≤ ε.

Finalement, on trouve bien que la fonction g est dérivable en a avec g′(a) = 0 donc la fonction f est dérivable en a avec f′(a) = L.

Supposons maintenant que f tende vers +∞ (resp. −∞) en a.

Soit M ∈ R. Il existe δ ∈ R^∗+ tel que pour tout x ∈ ]a, a + δ[, on ait f′(x) ≥ M (resp. f′(x) ≤ M).

Par conséquent, pour tout x ∈ ]a, a + δ[, on a d’après le théorème des accroissements finis, (f(x) − f(a)) / (x − a) ≥ M (resp. (f(x) − f(a)) / (x − a) ≤ M).

Finalement, on trouve bien que le taux d’accroissement (f(x) − f(a)) / (x − a) tend vers +∞ lorsque h tend vers 0.

Les démonstrations pour les limites de la dérivée en b se font de manière analogue.