Exercices sur les suites réelles

1. Montrer que pour tout entier n ∈ N, on a ∑_k=0ⁿ k² = (n(n + 1)(2n + 1))/(6).
2. En déduire pour tout n ∈ N une expression de S_n = ∑_k=0ⁿ k × (n − k).
3. Montrer que (S_n)/(n³) a une limite finie lorsque n tend vers +∞.

On considère une suite réelle définie par v₀ = 2 et pour tout n ∈ N, v_n+1 = 3v_n − 2.

1. On pose pour tout n ∈ N, w_n = v_n − 1.
   Montrer que la suite (w_n) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
2. Donner une expression du terme général de (w_n) et en déduire une expression du terme général de (v_n).

Un forfait téléphonique est présenté avec les conditions suivantes : il coute 24 € par mois, mais chaque mois on est remboursé de la moitié de ce que l’on a payé le mois précédent.

1. À combien revient le 2^e mois ? et le 3^e ?
2. On note u_n le prix de revient du n-ième mois. Vérifier que l’on a la relation de récurrence u_n+1 = 24 − u_n/2 pour tout n > 1.
3. Déterminer a ∈ R tel que a = 24 − a/2.
4. On pose v_n = u_n − a pour tout n > 1.
   Montrer que la suite v est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
5. En déduire l’expression de la suite u et déterminer sa limite.
6. Déterminer la limite de la moyenne 1/n × ∑_k=1ⁿ u_k lorsque n tend vers +∞.

On définit une suite par récurrence en posant u₀ = 1 et pour tout n ∈ N, u_n+1 = u_n(5 − u_n)/3.

1. Calculer les termes u₁ et u₂.
2. Conjecturer le sens de variation de la suite.
3. Dresser le tableau de la fonction f : x ↦ x(5 − x)/3 et montrer que l'intervalle [0 ; 2,5] est stable par f.
4. En déduire que pour tout n ∈ N on a 0 ≤ u_n ≤ 2,5. En déduire que la suite u est croissante.

1. Montrer que la fonction h est bien définie sur R⁺ et que cet intervalle est stable par h.
2. En déduire qu’en posant p₀ = 0 et pour tout n ∈ N, p_n+1 = h(p_n) on définit une suite positive.
3. Calculer p₁ et p₂. Montrer que la fonction h admet un unique point fixe négatif que l’on notera α.
4. On pose pour tout n ∈ N, q_n = p_n − α. Montrer que la suite (q_n) ne s’annule pas et que son inverse (r_n) = (1/q_n) vérifie la relation pour tout n ∈ N, r_n+1 = (3 + r_n)/(11).
5. Montrer que l’équation x = (3 + x)/(11) admet une unique solution positive que l’on appellera β.
6. Montrer que la suite (s_n) = (r_n − β) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
7. En déduire les expressions du terme général pour les suites (s_n), (r_n), (q_n), (p_n).

1. Montrer que pour tout x ∈ ]1 ; +∞[ on a ln(1 + x) ≤ x.
2. En déduire que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ (1)/(k) ≥ ∑_k=1ⁿ ln(1 + (1)/(k)).
3. Démontrer que pour tout n ∈ N^∗ on a ∑_k=1ⁿ ln(1 + (1)/(k)) = ln(n + 1).
4. En déduire lim_n→+∞ ∑_k=1ⁿ (1)/(k).

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦ x − x² définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
2. 1. Montrer que la suite (x_n)_n∈N est monotone et convergente.
   2. Déterminer la limite de la suite (x_n)_n∈N.
3. 1. Établir pour tout n ∈ N^∗, l’encadrement 0 < x_n ≤ (1)/(n+1).
   2. Retrouver ainsi la limite de la suite (x_n)_n∈N
4. Soit (v_n)_n∈N la suite définie pour tout n ∈ N par v_n = nx_n.
   1. Montrer que la suite (v_n)_n∈N est croissante.
   2. En déduire que la suite (v_n)_n∈N converge vers un réel ℓ qu’on ne demande pas de calculer.
   3. Montrer que 0 < ℓ ≤ 1.

1. Calculer les premiers termes de la suite jusque F₉.
2. Déterminer les raisons de suites géométriques satisfaisant la même relation de récurrence ∀n ∈ N, qⁿ⁺² = qⁿ⁺¹ + qⁿ.
3. En notant q et r deux réels trouvés à la question précédente, déterminer deux réels a et b tels que F₀ = aq⁰ + br⁰ et F₁ = aq¹ + br¹.
4. Justifier que pour tout n ∈ N on a F_n = aqⁿ + brⁿ à l’aide d’une récurrence double.
5. Démontrer que la suite ne s'annule pas à partir du rang 1.
6. Montrer que le quotient (F_n+1/F_n) converge en calculant sa limite.

Pour tout n ⩾ 2, on pose f_n(x) = xⁿ + x − 1 pour tout x ⩾ 0.

1. Soit n ⩾ 2. Montrer qu’il existe un unique réel x ⩾ 0 tel que f_n(x) = 0. On notera x_n ce réel.
2. Pour tout n ⩾ 2, déterminer le signe de f_n+1(x_n).
3. Montrer que la suite (x_n)_n⩾2 converge vers 1.
4. Montrer que lim_n→+∞ n(1 − ln(n)/n)ⁿ = 1.
5. En déduire qu’à partir d’un certain rang on a 1 − ln(n)/n < x_n < 1.

Soit (a_n)_n∈N^∗ une suite réelle croissante qui converge vers un réel ℓ. Pour tout entier n ∈ N^∗ on pose b_n = 1/n ∑_k=1ⁿ a_k.

1. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ on a b_n+1 − b_n = 1/(n(n + 1)) (na_n+1 − ∑_k=1ⁿ a_k).
2. Montrer que la suite (b_n)_n∈N^∗ est croissante.
3. Montrer que la suite (b_n)_n∈N^∗ converge vers un réel ℓ′ qui vérifie ℓ′ ⩽ ℓ.
4. Établir pour tout n ∈ N^∗ l’inégalité b_2n ⩾ (b_n + a_n)/2.
5. Déduire des deux questions précédentes que la suite (b_n)_n∈N^∗ converge vers ℓ.
6. Justifier que la conclusion est la même si on suppose que la suite (a_n)_n∈N^∗ est décroissante.

1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ (R⁺)² tel que a < b on a a < √(ab) < (a + b)/2 < b.
2. On fixe deux réels positifs u₀ et v₀ tel que u₀ < v₀. Montrer que les suites définies pour tout n ∈ N par u_n+1 = √(u_nv_n) et v_n+1 = (u_n + v_n)/2 sont bien définies et positives.
3. On pose pour tout n ∈ N δ_n = v_n − u_n. Montrer que la suite δ est positive, décroissante et que pour tout n ∈ N on a δ_n+1 ≤ δ_n/2.
4. En déduire que pour tout n ∈ N on a δ_n ≤ δ₀/2ⁿ.
5. Montrer que les suites u et v sont adjacentes.
6. Conclure.

1. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ tel que n > |x|, on a u_n > 0.
2. Soit n ∈ N^∗ tel que n > |x|. Montrer l'égalité u_n+1/u_n = (1 + x/n) (1 − x/((n + 1)(n + x)))ⁿ⁺¹.
3. Montrer que pour tout n ∈ N^∗ tel que n ≥ |2x| on a x/((n + 1)(n + x)) < 1.
   En déduire que pour tout n > |2x| on a u_n+1/u_n ≤ (1 + x/n) (1 − x/(n + x)).
4. En déduire que la suite (u_n) est croissante à partir d'un rang N > |2x|.
5. Justifier de même que la suite (v_n) est croissante et strictement positive à partir du rang N.
6. Montrer que la suite (u_nv_n) est majorée par 1
   puis montrer que les suites (u_n) et (v_n) convergent.