Fonctions polynômes

Vocabulaire

Définitions

Une fonction polynôme (réelle) P est une combinaison linéaire de fonctions puissances, c’est-à-dire qu’il existe n ∈ N et (a₀, … , a_n) ∈ Rⁿ⁺¹ tel que pour tout x ∈ R, P(x) = ∑_k=0ⁿ a_k x^k = a₀ + a₁x + ⋯ + a_nxⁿ. Dans ce cas, elle est dite de degré n si a_n ≠ 0. Ce coefficient est alors appelé coefficient dominant, et si n ≥ 1, le coefficient a_n−1 est appelé sous-dominant. Le coefficient a₀ est appelé coefficient constant, et pour tout entier k le coefficient de degré k est le réel a_k.

Par convention, la fonction nulle est un polynôme de degré −∞ et n’a pas de coefficient dominant (ni sous-dominant).

Si l’on ne détermine pas davantage la variable x ∈ R, une fonction polynôme est définie par son expression en fonction de x.

Définitions

Un polynôme est dit unitaire ou normalisé si son coefficient dominant vaut 1.

Un monôme est un polynôme ayant un seul coefficient non nul.

Soit P de degré n ∈ N et de coefficient dominant a_n. Son monôme dominant est la fonction x ↦ a_nxⁿ.

Propriété

Un polynôme de degré n ≥ 1 tend vers l’infini à l’infini, avec la même limite que son monôme dominant.

Démonstration

Soit P(x) = ∑_k=0ⁿ a_k x^k avec a_n ≠ 0, d’où P(x) = xⁿ ∑_k=0ⁿ (a_k)/(x^n−k).
Pour tout k ∈ ⟦0, n − 1⟧ on a lim_x→±∞ (a_k)/(x^n−k) = 0 donc lim_x→±∞ ∑_k=0ⁿ (a_k)/(x^n−k) = a_n.

Propriété

Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients au même degré.

Démonstration

Soit (a₀, … , a_n, b₀, … , b_n) ∈ R²ⁿ⁺² tel que pour tout x ∈ R, ∑_k=0ⁿ a_k x^k = ∑_k=0ⁿ b_k x^k c’est-à-dire ∑_k=0ⁿ (a_k − b_k) x^k = 0. Ce dernier polynôme ne peut tendre vers l’infini à l’infini, donc tous ses coefficients sont nuls à partir du degré 1. En outre il vaut 0 en 0 donc son coefficient constant est nul aussi.
Finalement, pour tout k ∈ ⟦0, n⟧ on a a_k = b_k.

Propriété

Les seuls polynômes constants sont les polynômes de degré 0 et le polynôme nul.

Le degré d’un polynôme P se note deg(P).

Espaces de polynômes

Propriété

Soit n ∈ N. L’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n est un espace vectoriel noté R_n[x], de dimension dim(R_n[x]) = n + 1 avec pour base canonique la liste des fonctions puissances d’exposant croissant (1, x, x², … , xⁿ).

L’ensemble R[x] des fonctions polynômes est aussi un espace vectoriel mais il n’est pas de dimension finie.

Définition

Une famille de polynômes non nuls (P₁, … , P_n) est dite échelonnée en degré si les degrés des polynômes sont deux à deux distincts.

Propriété

Toute famille de polynôme échelonnée en degré est libre.

Démonstration

Soit (a₁, … , a_n) ∈ Rⁿ ∖ {(0, … , 0)}. et on considère f = ∑_k=1ⁿ a_kP_k = 0.
On note d = max{deg(P_k, k ∈ ⟦1 ; n⟧ : a_k ≠ 0}, autrement dit d est le plus grand degré de polynôme P_k associé à un coefficient non nul. Alors on obtient deg(∑_k=1ⁿ a_kP_k) = d, donc la fonction f n’est pas nulle.

Opérations et degré

Propriété

Les sommes, produits, puissances et composées de fonctions polynômes sont aussi des fonctions polynômes avec pour tout (P, Q) ∈ R[x]² :

deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q)) avec inégalité stricte si et seulement si P et Q sont non nuls, de même degré et de coefficients dominants opposés ;
deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q) et si P et Q sont non nuls, le coefficient dominant du produit est le produit des coefficients dominants, le coefficient constant du produit est le produit des coefficients constants ;
si P × Q = 0 alors P = 0 ou Q = 0 ;
pour tout m ∈ N*, deg(P^m) = m × deg(P) et si P est non nul, le coefficient dominant de P^m est la puissance d'exposant m du coefficient dominant de P ;
deg(P ∘ Q) = deg(P) × deg(Q) ;
si deg(P) ≥ 1 alors deg(P′) = deg(P) − 1.

Définition

On dit qu'un polynôme A est un multiple d'un polynôme B, ou que B est un diviseur de A, et on note B ∣ A s'il existe un polynôme Q tel que A = Q × B. Un diviseur propre de A est un diviseur non constant et de degré strictement inférieur à celui de A.

Propriété

La relation de divisibilité induit une relation d'ordre sur les polynômes unitaires.

Deux polynômes A et B sont dits associés s'ils sont multiples l'un de l'autre, c'est-à-dire s'il existe λ ∈ R^∗ tel que A = λB.

Division euclidienne: Pour tout (A, B) ∈ R[x] × R[x] \ {0} il existe un unique (Q, R) ∈ R[x]² tel que A = B × Q + R et deg(R) < deg(B).

Dans l'égalité de la division euclidienne, les polynômes Q et R sont respectivement appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B.

Racine

Définition

Soit P un polynôme non nul et λ ∈ R. On dit que λ est une racine de P si P(λ) = 0.

Propriété

Pour tout polynôme P ≠ 0 et λ ∈ R, le reste de la division euclidienne de P par (x − λ) est P(λ).
Autrement dit, il y a équivalence entre le fait que λ soit racine de P et le fait que (x − λ) divise P.

Propriété

Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine.

Démonstration

Un polynôme de degré impair est une fonction continue avec des limites infinies de signe opposé en +∞ et −∞. Donc par extension du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel en lequel il s’annule.

Factorisation à l'aide d'une liste de racines: Soit (λ₁, … , λ_m) ∈ R^m une famille de racines deux à deux distinctes d'un polynôme P. Alors P est divisible par ∏_i=1^m (x − λ_i).

Démonstration

On procède par récurrence sur m ∈ N^∗.

L'initialisation est démontrée par la propriété précédente.

Soit m ∈ N^∗ tel que la propriété soit vraie au rang m. Soit (λ₁, … , λ_m+1) ∈ R^m+1 une famille de racines deux à deux distinctes d'un polynôme P. Par hypothèse de récurrence, il existe un polynôme Q tel que P(x) = Q(x) × ∏_i=1^m (x − λ_i).
Or P(λ_m+1) = 0 et ∏_i=1^m (λ_m+1 − λ_i) ≠ 0 donc Q(λ_m+1) = 0 donc (x − λ_m+1) divise Q et ∏_i=1^m+1 (x − λ_i) divise P.

Finalement, par principe de récurrence, la propriété est vraie quel que soit le nombre de racines listées.

Propriété

Un polynôme non nul avec m racines distinctes est de degré supérieur ou égal à m.

Propriété

Les courbes de deux fonctions polynomiales distinctes de degré inférieur ou égal à n ont au maximum n points d'intersection.

On en déduit aussi que les fonctions sinus et cosinus ne peuvent être polynomiales.

Racine multiple

Définition

Soit P un polynôme non nul, λ ∈ R et d ∈ N^∗.
On dit que λ est une racine d'ordre (au moins) d de P si P est un multiple de (x − λ)^d.
L’ordre de multiplicité de la racine λ dans P est le plus grand entier d tel que (x − λ)^d divise P.
Par convention, on dit que λ est d’ordre 0 si elle n'est pas racine de P.

Propriété

La valeur λ est une racine d’ordre de multiplicité d pour P si et seulement s’il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − λ)^d × Q(x) avec Q(λ) ≠ 0.

Démonstration

On raisonne par double implication.

Si λ est une racine d’ordre de multiplicité d pour P, alors il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − λ)^d × Q(x). Si on avait Q(λ) = 0, le polynôme Q serait divisible par (x − λ) donc le polynôme P serait divisible par ( x − λ)^d+1, ce qui est faux par hypothèse sur d. Donc on a bien Q(λ) ≠ 0.

Réciproquement, s'il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − λ)^d × Q(x) avec Q(λ) ≠ 0, alors λ est racine d'ordre au moins d. Supposons que l'ordre de multiplicité de λ soit strictement supérieur à d. Alors il existe un polynôme Q₁ tel que P(x) = (x − λ)^d+1 × Q₁(x), d'où par unicité du quotient dans la division euclidienne, Q(x) = (x − λ) × Q₁(x) donc Q(λ) = 0, ce qui est faux par hypothèse. Donc λ est bien d'ordre de multiplicité d.

Propagation d'une racine multiple au polynôme dérivé: Soit P un polynôme non nul, λ ∈ R et d ≥ 2 tel que λ soit une racine d'ordre de multiplicité d pour P. Alors λ est une racine d'ordre de multiplicité d−1 pour P′.

Démonstration

D'après la propriété précédente, il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − λ)^d × Q(x) avec Q(λ) ≠ 0, donc on trouve P′(x) = d(x − λ)^d−1 × Q(x) + (x − λ)^d × Q′(x)
or en posant Q₁(x) = dQ(x) + (x − λ) × Q′(x), on trouve P′(x) = (x − λ)^d−1 × Q₁(x) et Q₁(λ) = dQ(λ) ≠ 0. Donc d'après la propriété précédente, λ est effectivement une racine d'ordre d−1 pour le polynôme dérivé P′.

La réciproque est fausse, car 0 est n'est pas une racine de P(x) = x^d+1−1 mais elle est une racine d'ordre de multiplicité d pour P′(x) = (d + 1)x^d.

Propriété

Pour tout polynôme P non nul et λ ∈ R, l'ordre de multiplicité de λ dans P est le nombre de dérivées successives de P (y compris P) qui s'annulent en λ.

Étude locale

Propriété

Un polynôme change de signe en une racine si et seulement si sa multiplicité est impaire.

Démonstration

Soit P un polynôme non nul admettant une racine λ ∈ R. Il existe d ∈ N^∗ et un polynôme Q tel que P(x) = (x − λ)^d Q(x) avec Q(λ) ≠ 0. Donc Q est de signe constant au voisinage de λ, et (x − λ) change de signe en λ. Donc P change de signe en λ si et seulement si d est impair.

Propriété

Un polynôme P admet un extremum local en un réel x₀ si et seulement si x₀ est une racine de P′ avec une multiplicité impaire.

Démonstration

On procède par double implication.

Si x₀ est une racine de P′ avec une multiplicité impaire, alors P′ change de signe en x₀, donc P est croissante à gauche et décroissante à droite de x₀ (ou vice versa) donc P admet un maximum (ou un minimum) en x₀.

Si P admet un extremum local en un réel x₀ alors ce réel est une racine de P′. Mais comme P′ est aussi un polynôme, elle ne peut s’annuler qu’un nombre fini de fois et elle ne s’annule donc pas ailleurs au voisinage de x₀. Comme P n’est pas strictement monotone au voisinage de x₀, c’est donc que P′ change de signe donc sa racine a un ordre de multiplicité impair.