Exercices fonctions polynômes

1. Calculer (x + 1)ⁿ + (x − 1)ⁿ − 2xⁿ et préciser notamment son degré et son coefficient dominant.
2. Soit P un polynôme non constant de degré n et de coefficient dominant a_n. Calculer le degré et le coefficient dominant de P(x + 1) + P(x − 1) − 2 P(x).
3. Déterminer les polynômes réels satisfaisant l’équation P(x + 1) + P(x − 1) − 2 P(x) = x².

1. Montrer qu'il existe a ∈ R tel que P(x) = 1/n (x − a) P′(x).
2. Généraliser la formule précédente en une relation entre P^(k) et P^(k+1).
3. Montrer qu'il existe λ ∈ R tel que P(x) = λ (x − a)ⁿ.
4. La réciproque est-elle vraie ?

1. Soit P un polynôme admettant une racine double λ. Montrer que λ est aussi racine du reste de la division euclidienne de P par P′.
2. Déterminer les racines du polynôme P : x ↦ 36x⁴ − 24x³ − 53x² + 4x + 12, sachant qu’il a une racine double.

1. Vérifier que l’application h définie pour tout P ∈ E₁ par (h(P))(x) = 5x P(x) − (x² − 1)P′(x) est bien linéaire vers E₂ et déterminer sa matrice dans les bases canoniques.
2. Montrer que h est un isomorphisme et préciser la matrice représentative de h⁻¹ dans les bases canoniques.
3. Montrer que l’application f définie pour tout P ∈ E₁ par (f(P))(x) = (x² + 1)P″(x) − 2xP′(x) est un endomorphisme de E₁ et donner sa matrice dans la base canonique.

1. En quels points la fonction χ : x ↦ −x³ + rx + rs admet-elle des extremums locaux ?
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que χ ait trois zéros réels distincts deux à deux.
3. Soient λ₁, λ₂, λ₃ trois nombres réels tels que λ₁ < λ₂ < λ₃ et pour tout x ∈ R on ait −(x − λ₁)(x − λ₂)(x − λ₃).
   1. Montrer que λ₁ + λ₂ + λ₃ = 0.
   2. En déduire que λ₁ < λ₂ < 0 < λ₃.
   3. Montrer que si r + rs = 1 alors 1 est racine de χ.
   4. Montrer que si r + rs < 1 alors les trois racines de χ sont comprises dans ]−1, 1[.

Soit n un entier naturel non nul. On note E_n = R_n[x] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note ℬ = (e₀, e₁, … , e_n) la base canonique associée, vérifiant pour tout i ∈ ⟦0 ; n⟧, e_i(x) = xⁱ.
On introduit les polynômes (H₀, H₁, … , H_n) définis par H₀ = 1 et pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, H_i(x) = x(x − i)ⁱ⁻¹/i!).
Pour tout polynôme P ∈ E_n, on définit la fonction f(P) par (f(P))(x) = xP(x) + (x − 1) ∫₀^x P(t) dt.

1. Vérifier que l'application f est linéaire sur E_n.
2. Pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, calculer une expression de la fonction f(P) lorsque P(x) = xⁱ.
3. Pour tout P ∈ E_n, calculer la dérivée (f(P))′, puis montrer les égalités (f(P))(0) = (f(P))′(0) = 0.
4. Pour tout polynôme P ∈ E_n, justifier que la fonction T(P) : x ↦ (f(P))(x)/x²) est une fonction polynôme.
5. Montrer que l’application T constitue un endomorphisme de E_n.
6. Dans le cas n = 4, représenter l’endomorphisme T dans la base canonique.
7. Pour tout i ∈ ⟦0 ; n⟧, en notant Q_i(x) = H_i(x − 1), montrer que la fonction H_i+1 est une primitive de la fonction Q_i, puis en déduire une expression de T(Q_i).
8. Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ j la dérivée j-ième de H_i s’écrit H_i^(j)(x) = H_i−j(x − j).
9. Pour tout (i, j) ∈ ⟦1, n⟧², calculer H_i^(j)(j).
10. Montrer que la famille (H₀, … , H_n) est une base de E_n.
11. Montrer que pour tout P ∈ E_n on a P = ∑_i=0ⁿ P⁽ⁱ⁾(i) H_i.