Exercices fonctions polynômes

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Exercice
On pose P(x) = 3x2 − 2x + 7 et Q(x) = 5x − 4. Calculer P + Q, PQ, P × Q, PQ, QP, puis calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de P par Q.
Exercice
ENS 2017 problème A question 7.a
Déterminer un polynôme P tel que pour tout xR, P(x)2 = 1 − 4x + 4x2.
Exercice
Effectuer les divisions euclidiennes
Exercice
ENS 2017 problème B question 1.c
Quelles sont les racines de R(x) = x2 + 2x − 3 ?
Exercice
Déterminer le reste des divisions euclidiennes
Exercice
ENS 2010 exercice II question 1
Déterminer le reste de la division euclidienne de (x2 − 1) xj par x5 pour tout entier naturel j ≤ 4.
Exercice
Ecricome 2007 question 1.1.3
Vérifier que a = 1/2 est racine double de P(x) = 4x3 − 8x2 + 5x − 1 puis déterminer l'autre racine réelle de P.
Exercice
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 pour le polynôme xn+1xnx + 1.
Exercice
Ecricome 2012 problème 1.1 question 3.a
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout nN, 1/n(n + 1) = a/n + b/n + 1
Exercice
Déterminer un polynôme P de degré 5 tel que (x − 1)3 divise P+1 et (x + 1)3 divise P−1. Que peut-on dire de P′ ?
Exercice
Déterminer les polynômes réels P satisfaisant les équations suivantes :
Exercice
ENS 2013
Déterminer le nombre de racines réelles du polynôme P(x) = x3x2 − 7x + 11 ∈ R[x].
Exercice
Soit nN. Déterminer en fonction de nN les extrema locaux des fonctions définies par les expressions suivantes :
Exercice
Formule de Vandermonde : Soit (m, n) ∈ N2.
Déterminer de deux manières différentes les coefficients du polynôme (1 + x)m × (1 + x)n et en déduire la formule de Vandermonde : pour tout pN, k=0p (km) (pkn) = (pm+n).

Problèmes

Problème
Ecricome 1998 problème 2 question 4.b.1
Déterminer toutes les suites géométriques satisfaisant la relation de récurrence pour tout nN, un+4 = 4un+3 − 3un+2 − 4un+1 + 4un.
Chercher des racines évidentes du polynôme x4 − 4x3 + 3x2 + 4x − 4 et déterminer leur ordre de multiplicité.
Problème
Pour tout nN.
  1. Calculer (x + 1)n + (x − 1)n − 2xn et préciser notamment son degré et son coefficient dominant.
  2. Soit P un polynôme non constant de degré n et de coefficient dominant an. Calculer le degré et le coefficient dominant de P(x + 1) + P(x − 1) − 2 P(x).
  3. Déterminer les polynômes réels satisfaisant l’équation P(x + 1) + P(x − 1) − 2 P(x) = x2.
Problème
Soit P un polynôme non constant tel que P divise P. On note n = deg(P).
  1. Montrer qu'il existe aR tel que P(x) = 1/n (xa) P′(x).
  2. Généraliser la formule précédente en une relation entre P(k) et P(k+1).
  3. Montrer qu'il existe λR tel que P(x) = λ (xa)n.
  4. La réciproque est-elle vraie ?
Problème
  1. Soit P un polynôme admettant une racine double λ. Montrer que λ est aussi racine du reste de la division euclidienne de P par P.
  2. Déterminer les racines du polynôme P : x ↦ 36x4 − 24x3 − 53x2 + 4x + 12, sachant qu’il a une racine double.
Problème
HEC 2017 exercice 2 partie 1
On note E = R5[x], avec E1 le sous-espace des polynômes impairs et E2 le sous-espace des polynômes pairs.
  1. Vérifier que l’application h définie pour tout PE1 par (h(P))(x) = 5x P(x) − (x2 − 1)P′(x) est bien linéaire vers E2 et déterminer sa matrice dans les bases canoniques.
  2. Montrer que h est un isomorphisme et préciser la matrice représentative de h−1 dans les bases canoniques.
  3. Montrer que l’application f définie pour tout PE1 par (f(P))(x) = (x2 + 1)P″(x) − 2xP′(x) est un endomorphisme de E1 et donner sa matrice dans la base canonique.
Problème
ENS 2020 problème B question 7
Soit r > 0 et s ∈ ]0, 1].
  1. En quels points la fonction χ : x ↦ −x3 + rx + rs admet-elle des extremums locaux ?
  2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que χ ait trois zéros réels distincts deux à deux.
  3. Soient λ1, λ2, λ3 trois nombres réels tels que λ1 < λ2 < λ3 et pour tout xR on ait −(xλ1)(xλ2)(xλ3).
    1. Montrer que λ1 + λ2 + λ3 = 0.
    2. En déduire que λ1 < λ2 < 0 < λ3.
    3. Montrer que si r + rs = 1 alors 1 est racine de χ.
    4. Montrer que si r + rs < 1 alors les trois racines de χ sont comprises dans ]−1, 1[.
Problème : Endomorphisme sur un espace de polynômes

Soit n un entier naturel non nul. On note En = Rn[x] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On note ℬ = (e0, e1, … , en) la base canonique associée, vérifiant pour tout i ∈ ⟦0 ; n, ei(x) = xi.
On introduit les polynômes (H0, H1, … , Hn) définis par H0 = 1 et pour tout i ∈ ⟦1 ; n, Hi(x) = x(xi)i−1/i!.
Pour tout polynôme PEn, on définit la fonction f(P) par (f(P))(x) = xP(x) + (x − 1) 0x P(t) dt.

  1. Vérifier que l'application f est linéaire sur En.
  2. Pour tout i ∈ ⟦1 ; n, calculer une expression de la fonction f(P) lorsque P(x) = xi.
  3. Pour tout PEn, calculer la dérivée (f(P))′, puis montrer les égalités (f(P))(0) = (f(P))′(0) = 0.
  4. Pour tout polynôme PEn, justifier que la fonction T(P) : x(f(P))(x)/x2 est une fonction polynôme.
  5. Montrer que l’application T constitue un endomorphisme de En.
  6. Dans le cas n = 4, représenter l’endomorphisme T dans la base canonique.
  7. Pour tout i ∈ ⟦0 ; n, en notant Qi(x) = Hi(x − 1), montrer que la fonction Hi+1 est une primitive de la fonction Qi, puis en déduire une expression de T(Qi).
  8. Montrer que pour tout 0 ≤ ij la dérivée j-ième de Hi s’écrit Hi(j)(x) = Hij(xj).
  9. Pour tout (i, j) ∈ ⟦1, n2, calculer Hi(j)(j).
  10. Montrer que la famille (H0, … , Hn) est une base de En.
  11. Montrer que pour tout PEn on a P = i=0n P(i)(i) Hi.

Ajouts

Exercice
BCE 2020 exercice 1 question 4a
Soit x ∈ [0, 2]. Déterminer deux réels A et B tels que pour tout t ∈ [max(0, x − 1), min(1, x)] on ait 1/((1 + t)(1 + xt)) = A/(1 + t) + B/(1 + xt)

Annales

ENS 2009 exercice 1
Division euclidienne
ENS 2008 problème
Polynômes de Tchebycheff
Ecricome 2011 problème 1
polynômes P tel que P(X + 1) + P(X) = Xk.
ESSEC 2010
Endomorphisme Pxn P(1 + 1/x)