Variables aléatoires réelles discrètes

Cadre général

Définition

Une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P) est une application X : Ω → R dont l'ensemble image X(Ω) est l'ensemble des termes d'une suite (x_i) finie ou infinie et telle que pour tout indice i la préimage X⁻¹({x_i}) soit un évènement de 𝒜 dont on note la probabilité P(X = x_i).
Dans ce cas, la loi de probabilité de X est définie par l'application x_i ↦ P(X = x_i).

Propriété

Réciproquement, si (x_i) est une suite finie ou infinie de réels deux à deux distincts et si p est une application de {x₀, x₁, x₂, …} vers R⁺ telle que ∑_i p(x_i) = 1, alors p est une loi de probabilité d'une variable aléatoire réelle discrète.

Remarque

Dans le cas où la suite est infinie, la somme est la limite des sommes partielles : ∑_i∈N p(x_i) = lim_n→+∞ ∑_i=0ⁿ p(x_i), qui existe comme limite d'une suite croissante.

Lois de référence

À la suite des lois de probabilités à support fini que sont la loi uniforme, la loi de Bernoulli et la loi binomiale, on définit d'autres lois de probabilité discrètes de référence.

Définition

Soit p ∈ ]0 ; 1[. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi géométrique de paramètre p si pour tout k ∈ N^∗, P(X = k) = p(1 − p)^k−1.
On note alors X ↝ 𝒢(p).

Les lois géométriques sont les seules a être décrites par des suites géométriques. Il arrive aussi qu'on parle de loi géométrique sur N, auquel cas on a pour tout k ∈ N, P(X = k) = p(1 − p)^k.

Définition

Soit λ ∈ R^∗+. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de Poisson de paramètre λ si pour tout k ∈ N, P(X = k) = (λ^k)/(k!) e^−λ.
On note alors X ↝ 𝒫(λ).

Espérance

Définition

Soit X une variable aléatoire discrète positive avec X(Ω) = {x_i, i ∈ N} ⊂ R⁺. On dit que la variable X admet une espérance si la série (∑ x_i P(X = x_i)) converge. Dans ce cas l'espérance de X est la somme de cette série E(X) = ∑_i=0^+∞ x_i P(X = x_i).

Exemples

Une variable géométrique X de paramètre p admet une espérance E(X) = 1/p.
Une variable de Poisson X de paramètre λ admet une espérance E(X) = λ.

Théorème de transfert: Si X est une variable aléatoire réelle discrète et si f est fonction réelle positive définie sur X(Ω), alors la composée est aussi une variable aléatoire réelle discrète, notée f(X). Cette variable aléatoire admet une espérance si la série (∑ f(x_i) P(X = x_i)) converge et dans ce cas, on a E(f(X)) = ∑_i f(x_i) P(X = x_i).

Remarque

Pour une variable aléatoire discrète X à valeurs positives ou négatives, et en particulier dans le cadre du théorème de transfert si la fonction f n’est pas toujours positive, l’existence des espérances est conditionnée à la convergence absolue des séries.

Propriété

L'espérance est linéaire : pour tout λ ∈ R, si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes admettant chacune une espérance, alors la variable aléatoire (λX + Y) aussi avec E(λX + Y) = λ E(X) + E(Y).

Propriété

L'espérance est croissante : si X et Y sont deux variables aléatoires réelles discrètes admettant chacune une espérance telles que P(X ≤ Y) = 1 alors E(X) ≤ E(Y).

Propriété

Toute variable aléatoire réelle discrète bornée admet une espérance.

Démonstration

Soit X une variable aléatoire réelle discrète bornée. On note X(Ω) = {x_i, i ∈ N} et il existe (m, M) ∈ R² tel que pour tout i ∈ N, m ≤ x_i ≤ M. Alors X − m est une variable aléatoire réelle discrète positive et ∑_i=0^+∞ (x_i − m) P(X = x_i) ≤ ∑_i=0^+∞ (M − m) P(X = x_i) = M − m. Donc la série est majorée et converge.

Propriété

Soit X une variable aléatoire réelle discrète. Si X est toujours positive et admet une espérance nulle alors on a P(X = 0) = 1.

Moments et variance

Soit X une variable aléatoire réelle discrète. Soit r ∈ N.

Définition

Le moment d'ordre r de X, parfois noté m_r(X), est égal à E(X^r) si cette espérance est bien définie.
Le moment centré d'ordre r est le moment d'ordre r de la variable aléatoire (X − E(X)).
En particulier, la variance est le moment centré d'ordre 2 : V(X) = E((X − E(X))²).

Propriété

Une variable aléatoire discrète admet un moment d'ordre r si et seulement si elle admet un moment centré d'ordre r.

Propriété

Si X admet un moment d'ordre r alors elle admet un moment d'ordre q pour tout entier naturel q < r.

Exemples

Si X suit une loi géométrique de paramètre p alors V(X) = (1 − p)/p².
Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ alors V(X) = λ.

Propriété

Les moments (centrés ou non) d'ordre pair, et en particulier la variance, sont toujours positifs.

Propriété

Si X admet une variance alors pour tout c ∈ R, on a V(X + c) = V(X).

Formule de König-Huygens: Si X admet une variance alors V(X) = E(X²) − (E(X))²

Propriété

S'il existe, le moment d'ordre r est de degré r : pour tout λ ∈ R, on a m_r(λX) = λ^r m_r(X).
En particulier, la variance est quadratique : V(λX) = λ² V(X).

Indépendance

Définition

Deux variables aléatoires réelles discrètes X et Y sont dites indépendantes si pour tout (x, y) ∈ R² on a P(X = x et Y = y) = P(X = x) P(Y = y).

Comme pour les évènements, l'indépendance mutuelle de trois variables aléatoires ou plus est une propriété plus forte que l'indépendance des variables deux à deux.

Soit (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires discrètes. On dit que les variables qui composent cette famille sont mutuellement indépendantes si pour tout (x₁, … , x_n) ∈ Rⁿ, on a P(∀i, X_i = x_i) = ∏_i=1ⁿ P(X_i = x_i).

Lemme des coalitions: Soit (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Soit k ∈ ⟦1 ; n − 1⟧ et f une fonction de R^k vers R. Alors Y = f(X₁, … , X_n) et les variables X_k+1, … , X_n sont mutuellement indépendantes.

Propriété

Soit (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. Alors ∑_i=1ⁿ X_i suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Propriété

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs p et q alors min(X, Y) suit aussi une loi géométrique de paramètre p + q − pq.

Propriété

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et μ alors (X + Y) suit aussi une loi de Poisson de paramètre λ + μ.

Paradigme de Poisson: Si (X_n) est une famille de variables aléatoires suivant des lois binomiales X_n ↝ ℬ(n, p_n) telles que la suite (np_n)_n∈N converge vers un réel λ > 0, alors la suite (X_n) converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre λ : pour tout k ∈ N, lim_n→+∞ P(X_n = k) = e^−λ(λ^k)/(k!).

Démonstration

Pour tout n ≥ k, on a P(X_n = k) = (k parmi n) p_n^k (1 − p_n)^n−k = (n! (np_n)^k)/(k! (n − k)! n^k) exp((n − k) ln(1 − p_n)) ,
or lim_n→+∞ (np_n)^k = λ^k,
et (n!)/((n − k)! n^k) = (n (n − 1) ⋯ (n − k + 1))/(n^k) = 1 × (1 − (1)/(n)) × (1 − (2)/(n)) × ⋯ × (1 − (k+1)/(n)) qui converge vers 1, enfin à l’aide du développement limité à l’ordre 1, ln(1 + x) = x + x ε(x), on trouve exp((n − k) ln(1 − p_n)) = (exp(n ln(1 − p_n)) )/(exp(k ln(1 − p_n)) ),
avec un numérateur qui s’écrit exp(−np_n (1 + ε(p_n))) donc qui converge vers exp(−λ), et lim_n→+∞ p_n = 0 donc le dénominateur converge vers 1.