Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Oscar et Louna sont tous deux munis d’un jeu de cartes et isolés chacun dans une salle sans avoir eu le temps de se concerter. On leur demande de choisir une carte de leur paquet sachant que :

• s’ils choisissent tous les deux une carte rouge, il repartent avec 10 €,
• s’ils choisissent tous les deux une carte noire, il repartent avec 70 €,
• s’ils choisissent une carte rouge et une carte noire, il repartent avec 100 €.

Ils décident de choisir au hasard une carte de leur paquet, en s’arrangeant pour que la probabilité de choisir une carte noire soit un réel p ∈ [0, 1].

1. Montrer que l’espérance de leur gain s’écrit 180p − 120p² + 10 ?
2. Comment choisir p pour maximiser cette espérance ? Calculer aussi l’espérance du gain dans ce cas.
3. Comment choisir au hasard une carte pour obtenir cette probabilité ?

1. Déterminer la loi de X et de Z à l’aide de leurs fonctions de répartition.
2. Montrer que pour tout k ∈ ⟦3 ; n − 2⟧, P(X = k) + P(Y = k) + P(Z = k) = 3/n).
3. Déterminer la loi de Y.

Soit Z une variable aléatoire réelle. Pour tout réel x tel que e^xZ admette une espérance, on définit Φ_Z(x) = E(e^xZ).

1. Calculer explicitement cette espérance lorsque Z suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[.
2. Si Z suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, montrer que pour tout x ∈ R on a ln(Φ_Z(x)) = λ(e^x − 1).
3. Plus généralement, montrer que si Φ_Z est définie sur R alors Φ_−Z aussi.

1. On choisit une de ces deux pièces de façon équiprobable sans l’examiner et on la lance. Quelle est la probabilité que cette pièce affiche le côté « face » ? Si elle affiche effectivement le côté « face », quelle est la probabilité qu’il s’agissait de la pièce truquée ?
2. Si la pièce affiche « face » au cours de trois lancers successifs, quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la pièce truquée ?
3. On a malencontreusement rangé la pièce de monnaie truquée dans un sac avec n autres pièces normales, où n ≥ 2. Pour la retrouver, on renverse le sac et on étale les pièces sur une table.
   1. Quelle est la loi du nombre X de pièces côté « pile » visible ?
   2. On supprime toutes les pièces tombées du côté « pile » et on relance les autres.
      Calculer la loi du nombre Y de pièces restantes qui retombent côté « pile ».
      Préciser son espérance et sa variance.

1. Calculer la probabilité de l’évènement A selon lequel toutes les valeurs obtenues sont deux à deux distinctes.
2. Montrer que le résultat X d’un dé fixé est indépendant de A.
3. En déduire que l’espérance du gain s’écrit E(G_k) = k P(A) E(X) et calculer cette espérance.
4. Déterminer la valeur de k qui maximise l’espérance du gain.
   On pourra résoudre l’équation E(G_k+1) ≤ E(G_k).

1. Calculer la probabilité de l’évènement A selon lequel aucun dé ne donne la valeur 6.
2. Montrer que le résultat X de chaque dé satisfait la relation pour tout i ∈ ⟦1 ; 5⟧, P_A(X = i) = 1/5.
3. En déduire que l’espérance du gain s’écrit E(G_k) = k ∑_i=1⁵ P(A) i/5 et calculer cette espérance.
4. Déterminer la valeur de k qui maximise l’espérance du gain.
   On pourra résoudre l’équation E(G_k+1) ≤ E(G_k).

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que pour tout n ∈N^∗, P(X ≥ n) > 0. On appelle taux de panne associé à X la suite réelle (x_n) définie pour tout n ∈ N^∗ par x_n = P_X≥n(X = n).

1. Montrer que pour tout entier n non nul, x_n = P(X = n) / P(X ≥ n).
2. Si Y est une variable géométrique de paramètre p, calculer son taux de panne.
3. On considère une variable aléatoire Z satisfaisant pour tout entier naturel n non nul, P(Z = n) = 1 / n(n + 1).
   1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N^∗, 1 / n(n + 1) = a / n + b / n + 1.
   2. Vérifier qu'avec cette définition on trouve ∑_n=1^+∞ P(Z = n) = 1.
   3. La variable Z admet-elle une espérance ?
   4. Pour tout entier n ≥ 1, calculer la probabilité P(Z ≥ n) puis calculer le taux de panne associé à Z.
4. Soit X une variable aléatoire admettant un taux de panne noté (x_n).
   1. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, P(X ≥ n) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X = n) = x_k ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   3. Déterminer les lois de variable aléatoire discrète à taux de panne constant.

Soit (X_n)_n∈N^∗ une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P), indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p.

Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N^∗, indépendante des variables aléatoires X_n.

Pour tout ω ∈ Ω, on pose Y(ω) = ∑_i=1^N(ω) X_i et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P).

Pour tout n ∈ N^∗, on pose S_n = ∑_i=1ⁿ X_i.

On pourra utiliser sans justification la formule suivante : pour tout (r, s) N² avec r ≤ s, on a ∑_j=r^s (r parmi j) = (r+1 parmi s+1).

1. Montrer que la loi de S₂ est donnée par S₂(Ω) = N ∖ {0 ; 1} et pour tout k ≥ 2, P(S₂ = k) = (k − 1) p² q^k−2.
2. Déterminer pour tout entier n ≥ 2, la loi de X₁ conditionnellement à l’évènement {S₂ = n}.
3. 1. Déterminer S_n(Ω).
   2. En utilisant la formule de l’énoncé et à l’aide d’une relation de récurrence sur n, montrer que pour tout k ∈ S_n(Ω), P(S_n = k) = (n−1 parmi k−1)pⁿq^k−n.
4. 1. En utilisant le fait que S_n−1 est une variable aléatoire, établir l’égalité ∑_k=n^+∞ (n−2 parmi k−2) q^k−n = 1/pⁿ⁻¹).
   2. Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et pour tout entier k ≥ n, on a n − 1/k − 1) (n−1 parmi k−1) = (n−2 parmi k−2) .
   3. Soit R_n la variable aléatoire définie par R_n = n − 1/S_n − 1). Montrer que l’espérance de R_n est égale à p.
5. 1. Déterminer Y(Ω).
   2. Pour tout couple (k, n) ∈ (N^∗)², montrer que P({Y = k} ∩ {N = n}) = P(S_n = k) × P(N = n).
   3. Pour tout couple (k, n) ∈ (N^∗)² tel que k < n, donner la valeur de P({Y = k} ∩ {N = n}).
   4. Déduire des questions précédentes que pour tout k ∈ N^∗, P(Y = k) = ∑_n=1^k P(S_n = k) × P(N = n).
6. On suppose dans cette question que N suit la loi géométrique de paramètre p. Montrer que Y suit la loi géométrique de paramètre p².
7. On suppose réciproquement que Y suit la loi géométrique de paramètre p².
   1. Montrer que P(N = 1) = p.
   2. Montrer également que P(N = 2) = pq.
   3. À l’aide d’une démonstration par récurrence, montrer que N suit la loi géométrique de paramètre p.

1. Calculer le nombre de manières de remplir la grille et en déduire une valeur approchée de la probabilité de trouver tous les bons numéros (y compris le numéro chance).
2. Pour tout entier k entre 2 et 5, calculer le nombres de grilles obtenant k bons numéros (sans tenir compte du numéro chance) et en déduire des valeurs approchées des probabilités associées.
3. La répartition des gains est donnée par le tableau suivant (voir le règlement du jeu page 17).

   Numéros trouvés	Part des gains
   5 + chance	19,53 %
   5 sans chance	5,06 %
   4	10,89 %
   3	4,72 %
   2	33,72 %

   Sur les cinq millions d'euros répartis en moyenne (représentant 53 % des mises), calculer le gain moyen sur chaque tranche ainsi que le nombre de gagnants qui se partagent ce gain moyen.

1. Donner la loi de S_n = ∑_i=1ⁿ X_i. Donner son espérance et sa variance.
2. On note X_n = S_n/n. Montrer l'inégalité Var(X_n) ≤ 1/4n.
3. Soit f une fonction de [0 ; 1] dans R. On pose pour tout t ∈ R, Q_n(t) = ∑_k=0ⁿ (k parmi n) f(k/n)t^k (1 − t)^n−k. Montrer les égalités E(f(X_n) = Q_n(p) et Q_n(p) − f(p) = ∑_k=0ⁿ (f(k/n) − f(p)) (k parmi n) t^k (1 − t)^n−k.