Probabilités

Vocabulaire général

Définitions

Soit Ω un ensemble non vide. Une tribu ou σ-algèbre (prononcer « sigma-algèbre ») est un ensemble 𝒜 de parties de Ω tel que :

Ω ∈ 𝒜 ;
𝒜 est stable par complémentation ∀A ∈ 𝒜, A = Ω \ A ∈ 𝒜 ;
𝒜 est stable par réunion dénombrable : pour toute suite (A_i) ∈ 𝒜^N, on a ⋃_i∈N A_i ∈ 𝒜.

Un ensemble Ω muni d'une tribu 𝒜 forme un ensemble probabilisable. L'ensemble Ω est appelé univers et les éléments de 𝒜 sont appelés les évènements.

L’évènement contraire d'un évènement A est son complémentaire dans Ω, noté A ou A^c.

Deux évènements sont dits incompatibles s’ils sont disjoints.

L'ensemble 𝒫(Ω) des parties de Ω forme lui-même une tribu (appelée totale ou discrète), qui est en général la tribu utile dans les problèmes de variables aléatoires discrètes.

Définition

Une loi de probabilité ou mesure de probabilité (ou encore probabilité par raccourci) sur un ensemble probabilisable (Ω, 𝒜) est une application P : 𝒜 → R⁺ qui vérifie :

P(Ω) = 1
la σ-additivité : pour toute suite finie ou infinie (A_i) d'évènements deux à deux disjoints, P(⋃_i A_i) = ∑_i P(A_i).

Dans le cas où la suite est infinie, la somme est la limite des sommes partielles : ∑_i∈N P(A_i) = lim_n→+∞ ∑_i=0ⁿ P(A_i), qui existe comme limite d'une suite croissante.

Cas d'un univers fini

Sur un univers fini Ω = {ω₁, …, ω_n} muni de la tribu totale 𝒫(Ω) et d'une probabilité P, on appelle probabilités élémentaires les probabilités des singletons p_i = P({ω_i}) dont la somme vaut 1.

La probabilité d'un évènement est alors la somme des probabilités élémentaires associées à ses éléments P(A) = ∑_{ω_i ∈ A} p_i.

Définition

Les éléments de l'univers sont dits équiprobables s'ils ont tous la même probabilité.

Exemple

Un dé standard à six faces est représenté par l'équiprobabilité sur ⟦1 ; 6⟧.

Propriété

En cas d'équiprobabilité sur Ω, toutes les probabilités élémentaires valent 1/Card(Ω) et la probabilité d'un évènement s'écrit P(A) = Card(A) / Card(Ω).

Autrement dit, cette probabilité s’obtient en divisant le nombre de cas favorables par le nombre total de cas.

Propriétés

On a P(∅) = 0 et pour tout couple (A, B) d'évènements,

0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
si A ⊂ B alors P(A) ≤ P(B).

Définition

Une famille d’évènements est un système complet si les évènements sont deux à deux incompatibles et que leur réunion soit égale à l’univers.

Remarque

En général, on ne considère que des systèmes complets dont les tous les évènements ont une probabilité non nulle. En particulier, ces systèmes constituent des partitions de l’univers.

Formule des probabilités totales: Soit (A_i) un système complet d’évènements. Pour tout évènement B on a P(B) = ∑_i P(B ∩ A_i).

Probabilité conditionnelle

Définition

Si P(A) ≠ 0, on appelle probabilité conditionnelle de B par rapport à A le quotient P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A).

Remarque

On trouve parfois la notation P(B | A) = P_A(B).

Propriété

La fonction P_A est une loi de probabilité sur le même espace probabilisable, c'est-à-dire qu'elle est positive et σ-additive avec P_A(Ω) = 1.

Formule de Bayes: Soient A et B deux évènements avec P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0. On a P_A(B) = P(B) P_B(A)/P(A).
Formule des probabilités totales avec probabilités conditionnelles: Soit (A_i) un système complet d’évènements et B un évènement.
Si pour tout i on a P(A_i) ≠ 0 alors P(B) = ∑_i P(A_i)P_{A_i}(B).
Formule des probabilités composées: Soit (A₁, … , A_n) une famille d’évènements tels que P(A₁ ∩ ⋯ ∩ A_n) ≠ 0.
Alors pour tout k ∈ ⟦1 ; n⟧ on a P(A₁ ∩ ⋯ ∩ A_k) ≠ 0 et P(A₁ ∩ ⋯ ∩ A_n) = P(A₁) × P_A₁(A₂) × P_{A₁ ∩ A₂}(A₃) × ⋯ × P_{A₁ ∩ ⋯ ∩ A_n−1}(A_n).

Indépendance

Propriété

Soient A et B deux évènements avec P(A) ≠ 0. Il y a équivalence entre la relation P_A(B) = P(B) et la relation P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Définition

On dit que deux évènements A et B sont indépendants si on a P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

La définition d’indépendance a un sens même si l’un des évènements a une probabilité nulle.
La notion d’indépendance n’a rien à voir avec la notion d’incompatibilité. En général, deux évènements indépendants ne sont pas incompatibles et vice versa.
La probabilité de la conjonction de plus de deux évènements deux à deux indépendants n’est pas nécessairement le produit des probabilités des évènements.
Par exemple, sur l’univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4} avec une loi équiprobable, si on considère les évènements A = {1 ; 2}, B = {1 ; 3} et C = {2 ; 3}, on a P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 et P(A ∩ B) = P(B ∩ C) = P(C ∩ A) = 1/4 donc les trois évènements sont deux à deux indépendants mais P(A ∩ B ∩ C) = 0 ≠ P(A) × P(B) × P(C)

Définition

Soit (A_i)_{i ∈ I} une famille d’évènements. On dit que les évènements qui la composent sont mutuellement indépendants si pour tout J ⊂ I on a P(⋂_i∈J A_i) = ∏_i∈J P(A_i).

Remarque

La définition impose l’égalité sur toutes les parties de I et pas seulement sur I.
Sur l’univers Ω = ⟦1 ; 6⟧ avec équiprobabilité, les évènements A = {1 ; 2 ; 3}, B = {2 ; 3 ; 4} et C = {3 ; 4 ; 5 ; 6} vérifient P(A) = P(B) = 1/2 et P(C) = 2/3 et P(A ∩ B ∩ C) = P({3}) = 1/6 = P(A) × P(B) × P(C) mais P(A ∩ B) = P({2 ; 3}) = 1/3 ≠ P(A) × P(B) donc A et B ne sont pas indépendants.

Propriété

Si A et B sont deux évènements indépendants, alors A et B sont indépendant aussi, de même que A et B et que A et B.