Variables aléatoires sur un univers fini

Définitions et exemples

Sur un ensemble fini Ω muni d'une loi de probabilité P, une variable aléatoire X est simplement une application de Ω dans un ensemble E. On note alors pour tout x ∈ E, P(X = x) = P(X⁻¹{x}).

Le support de X est son ensemble image X(Ω). La loi de probabilité de X est l'application x ↦ P(X = x) de X(Ω) vers l'intervalle [0 ; 1].

Exemples

Somme de deux dés

Table de valeurs de la somme des résultats de deux dés standards

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

La somme des résultats du lancer de deux dés équilibrés à 6 faces numérotées de 1 à 6 peut être modélisée par une variable aléatoire réelle X sur l'ensemble ⟦1 ; 6⟧² muni de l'équiprobabilité, que l'on peut représenter avec un tableau à double entrée ci-contre. Le support de X est l'intervalle d'entiers ⟦2 ; 12⟧ et sa loi de probabilité peut être explicitée à l'aide d'un tableau de valeurs ci-dessous.

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X = k) 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
Nombre de piles sur 3 lancers

Arbre de possibilités pour trois lancers successifs à pile ou face

Le nombre de fois qu'une pièce équilibrée tombe sur le côté pile au cours de trois lancers successifs peut être décrit par une variable aléatoire réelle N sur l'ensemble {P ; F}³ muni de l'équiprobabilité, représenté par l'arbre ci-contre. La loi de probabilité de N est alors résumée dans le tableau ci-dessous.

k 0 1 2 3

P(N = k) 1/8 3/8 3/8 1/8

Table de valeurs de la somme des résultats de deux dés standards
	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

`k`	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P(`X` = `k`)	1/36	1/18	1/12	1/9	5/36	1/6	5/36	1/9	1/12	1/18	1/36

`k`	0	1	2	3
P(`N` = `k`)	1/8	3/8	3/8	1/8

Définition

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur un ensemble fini non vide A si pour tout k ∈ A, on a P(X = k) = 1/Card(A).
On note alors X ↝ 𝒰(A).

En particulier, si A est un intervalle d'entiers de la forme ⟦a ; b⟧, alors Card(A) = b − a + 1.

La loi uniforme décrit en particulier le résultat d’un dé équilibré.

Définition

Soit p ∈ ]0 ; 1[. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de Bernoulli de paramètre p sur {0 ; 1} si P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p.
On note alors X ↝ ℬ(p).

On peut parler aussi de variable de Bernoulli sur une autre paire de valeurs que {0 ; 1} mais il faut alors préciser quelle est la valeur dite de succès, dont la probabilité est égale au paramètre.

Espérance

Définition

Si l'ensemble des valeurs d'une variable aléatoire réelle X s'écrit X(Ω) = {x₁, … , x_n}, l'espérance de X s'écrit E(X) = ∑_i=1ⁿ x_i P(X = x_i).

Exemples

Si une variable aléatoire n'a qu'une valeur, c'est-à-dire si elle est constante (on dit aussi déterministe), son espérance est égale à cette valeur.
Si n ∈ N^∗ et si X suit la loi uniforme sur l'intervalle d'entiers ⟦a ; b⟧ alors E(X) = (a + b)/2.
Si B suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[ sur {0 ; 1} alors E(B) = p.

Démonstrations

Si X n’a qu’une seule valeur c avec une probabilité 1, alors E(X) = c × P(X = c) = c.
Si X ↝ 𝒰(⟦a, b⟧, alors
E(X) = ∑_k=a^b k × 1/(b−a+1) = 1/(b−a+1) × (∑_k=0^b k − ∑_k=0^a−1 k) = (b(b + 1) − (a − 1)a)/(2(b − a + 1)) = (b² − a² + b + a)/(2(b − a + 1)) = (b + a)(b − a + 1)/(2(b − a + 1)) = (b + a)/2 .
Si X ↝ ℬ(p) alors E(X) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p.

Les propriétés suivantes peuvent être démontrées en reprenant l’espérance sous la forme E(X) = ∑_ω∈Ω X(ω) P(ω).

Linéarité de l'espérance: Soit X et Y deux variables aléatoires réelles sur l'univers fini Ω. Pour tout λ ∈ R on a E(λX + Y) = λE(X) + E(Y).
Positivité de l'espérance: Soit X une variable aléatoire réelle sur l'univers fini Ω. Si ses valeurs sont positives alors E(X) ≥ 0.
Croissance de l'espérance: Soit X et Y deux variables aléatoires réelles sur l'univers fini Ω. Si pour tout ω ∈ Ω on a X(ω) ≤ Y(ω) alors on a E(X) ≤ E(Y).

Théorème de transfert: Si X est une variable aléatoire et f une fonction réelle définie sur X(Ω) alors la composée est une variable aléatoire réelle, notée f(X), et en notant X(Ω) = {x₁, … , x_n} on trouve E(f(X)) = ∑_i=1ⁿ f(x_i) P(X = x_i).

Variance

Définition

La variance d'une variable aléatoire X est définie par V(X) = E((X − E(X))²).

Si X(Ω) = {x₁, … , x_n} on peut donc calculer V(X) = ∑_i=1ⁿ (x_i − E(X))² P(X = x_i). La variance d'une variable déterministe est donc nulle. Mais pour calculer la variance d'une variable aléatoire en général on passe plutôt par la formule suivante.

Formule de König-Huygens: V(X) = E(X²) − (E(X))²

Démonstation

On développe et on utilise la linéarité de l’espérance

E((X − E(X))²) = E(X² + E(X)² − 2X E(X)) = E(X²) + E(X)² − 2 E(X) E(X) = E(X²) − (E(X))².

Exemples

Si n ∈ N^∗ et si X suit la loi uniforme sur l'intervalle d'entiers ⟦1 ; n⟧ alors V(X) = (n² − 1)/12.
Si B suit la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[ sur {0 ; 1} alors E(B) = p et V(B) = p(1 − p).

Démonstrations

Si X ↝ 𝒰(⟦1, n⟧, alors
E(X²) = ∑_k=1ⁿ k²/n = 1/n × n(n + 1)(2n + 1)/6 = (2n² + 3n + 1)/6
donc V(X) = (2n² + 3n + 1)/6 − (n² + 2n + 1)/4 = (n² − 1)/12.
Si X ↝ ℬ(p) alors E(X²) = 1² × p + 0² × (1 − p) = p donc V(X) = p − p².

Propriété

La variance est toujours positive.

Démonstration

La variable aléatoire (X − E(X))² est positive donc son espérance est positive aussi.

Propriété

Si X est une variable aléatoire réelle alors pour tout c ∈ R on a V(X + c) = V(X).

Démonstration

On a E(X + c) = E(X) + c donc (X + c) − E(X + c) = X − E(X) donc E((X + c − E(X + c))²) = E((X − E(X))²).

Propriété

La variance est quadratique : pour tout λ ∈ R, pour toute variable aléatoire réelle X sur Ω, on trouve V(λX) = λ² V(X).

Démonstration

On applique la formule de Koenig-Huygens : V(λX) = E(λ²X²) − (E(λX))² = λ² E(X²) − (λ E(X))² = λ² V(X).

Loi binomiale

Définition

Soit n ∈ N^∗ et p ∈ ]0 ; 1[. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi binomiale de paramètres n et p si pour tout k ∈ ⟦0 ; n⟧, P(X = k) = (kn) p^k(1 − p)^n−k.
On note alors X ↝ ℬ(n, p).

Cette loi se ramène à la loi de Bernoulli dans le cas n = 1

Propriété

Une variable suivant une loi binomiale de paramètres n et p a pour espérance np et pour variance np(1 − p).

Démonstration

Si X ↝ ℬ(n, p), on calcule
E(X) = ∑_k=0ⁿ k(k parmi n) p^k (1 − p)^n−k = ∑_k=1ⁿ n!/((k−1)! (n−k)! p^k (1 − p)^n−k = ∑_k=0ⁿ⁻¹ n!/(k! (n−k−1)! p^k+1 (1 − p)^n−k−1 = np∑_k=0ⁿ⁻¹ (n−1)!/(k! (n−k−1)! p^k (1 − p)^n−1−k = np(p + (1 − p))ⁿ⁻¹ à l’aide de la formule du binôme de Newton.
De même on trouve E(X(X − 1)) = ∑_k=0ⁿ k(k − 1)(k parmi n) p^k (1 − p)^n−k = ∑_k=2ⁿ n!/((k−2)! (n−k)! p^k (1 − p)^n−k = ∑_k=0ⁿ⁻² n!/(k! (n−k−2)! p^k+2 (1 − p)^n−k−2 = n(n − 1)p²
donc E(X²) − E(X) = n(n − 1)p² d’où V(X) = n(n − 1)p² + np − n²p² = np − np².

Indépendance

Définition

Deux variables aléatoires réelles discrètes X et Y sont dites indépendantes si pour tout (x, y) ∈ R² on a P(X = x et Y = y) = P(X = x) P(Y = y).

Comme pour les évènements, l'indépendance mutuelle de trois variables aléatoires ou plus est une propriété plus forte que l'indépendance des variables deux à deux.

Définition

Soit (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires discrètes. On dit que les variables qui composent cette famille sont mutuellement indépendantes si pour tout (x₁, … , x_n) ∈ Rⁿ, on a P(∀i, X_i = x_i) = ∏_i=1ⁿ P(X_i = x_i).

Propriété

Soit (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. Alors ∑_i=1ⁿ X_i suit la loi binomiale de paramètres n et p.