Variables aléatoires réelles à densité

Cadre général

Définition

Une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, A, P) est une application X : Ω → R telle que pour tout intervalle I ⊂ R, sa préimage X⁻¹(I) soit un évènement dont on note P(X ∈ I) la probabilité. Elle est dit à densité s'il existe une fonction ρ, appelée fonction de densité de X, qui soit définie, positive et intégrable sur R, telle que pour tout (a, b) ∈ R² vérifiant a ≤ b on ait P(a ≤ X ≤ b) = P(X ∈ [a ; b]) = ∫_a^b ρ(t) dt.

En particulier, si X est une variable à densité, pour tout a ∈ R on obtient P(X = a) = ∫_a^a ρ(t) dt = 0. Cela signifie notamment qu'une variable à densité ne peut pas être une variable discrète, et réciproquement.

Par passage à la limite des bornes, on trouve aussi ∫_−∞^+∞ ρ(t) dt = P(X ∈ R) = 1.

Remarque

Par propriété de l'intégrale généralisée, si ρ est une fonction réelle définie, positive, continue sur R sauf en un nombre fini de points et intégrable sur R d'intégrale 1, alors cette fonction peut apparaitre comme la fonction de densité d'une variable aléatoire.

On se limitera ici aux variables aléatoires admettant une fonction de densité continue, sauf éventuellement en un nombre fini de points.

Définition

Soit X une variable aléatoire réelle. Sa fonction de répartition est la fonction réelle définie pour tout x ∈ R par F_X(x) = P(X ≤ x).

Propriété

La fonction de répartition est croissante avec lim_x→−∞ F_X(x) = 0 et lim_x→+∞ F_X(x) = 1.

Propriété

La fonction de répartition d'une variable à densité est continue.

Propriété

Soit X une variable aléatoire à densité et soit x ∈ R. Si la fonction de densité ρ est continue en x alors la fonction de répartition est dérivable en x et dans ce cas F_X′(x) = ρ(x).

En particulier, la fonction de répartition caractérise la densité si celle-ci est continue.

Propriété

Soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est continue et dérivable sur R. Si la dérivée de la fonction de répartition est continue sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors cette dérivée constitue une fonction de densité pour la variable X.

Propriété

Si X est une variable aléatoire réelle à densité alors |X| aussi et pour toute fonction continue et strictement croissante g, dérivable et dont la dérivée ne s'annule pas sauf éventuellement en un nombre fini de points, la composée g(X) est aussi une variable aléatoire réelle à densité.

Lois de référence

Définition

On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur un intervalle [a, b] si elle admet comme fonction de densité la fonction définie par ρ(t) = 1/b − a pour tout t ∈ [a ; b] et nulle en dehors de ce segment.
On note alors X ↝ 𝓤([a, b]).

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi uniforme discrète. Une telle variable aléatoire a une fonction de répartition qui est affine sur l'intervalle [a, b], nulle sur ]−∞ ; a] et constante de valeur 1 sur [b ; +∞[.

Définition

Soit λ ∈ R^∗+. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur R⁺ si elle admet comme fonction de densité la fonction définie par ρ(t) = λ e^−λt pour tout t ∈ R⁺ et nulle sur R^∗−.
On note alors X ↝ 𝓔(λ).

Propriété

La fonction de répartition d'une telle variable aléatoire est la fonction x ↦ 1 − e^−λx.

Définition

Soit μ ∈ R et σ ∈ R^∗+. On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale de paramètres μ et σ sur R si elle admet comme fonction de densité la fonction définie par ρ(t) = 1/σ√2π exp(−(t − μ)²/2σ²) pour tout t ∈ R.
On note alors X ↝ 𝓝(μ, σ²).
La loi normale centrée réduite correspond à 𝒩(0, 1)

Attention, cette notation n'est pas complètement normalisée. Le deuxième paramètre est parfois simplement σ.

La fonction de répartition d'une telle variable aléatoire ne peut s'exprimer à l'aide des fonctions de référence vues au lycée. On peut cependant la calculer à partir de la fonction d'erreur (notée erf).

Il existe beaucoup d'autres lois de probabilités classiques pour des variables aléatoires à densité. On peut citer notamment la loi de Cauchy, dont la version la plus simple est donnée par la fonction de densité t ↦ 1/(π (1 + t²)).

Propriété

La loi exponentielle est sans mémoire, c'est-à-dire que si X ↝ 𝓔(λ), alors pour tout (a, b) ∈ (R⁺)², P_X>a(X > a + b) = P(X > b).

Réciproque de la fonction de répartition

Propriété

Soit U une variable uniforme sur l’intervalle ]0 ; 1[ et ρ une fonction de densité continue (sauf en un nombre fini de points) sur un intervalle réel ]a, b[ (éventuellement non borné). Si la primitive F : x ↦ ∫_a^xρ est strictement croissante sur ]a, b[, elle établit une bijection entre ]a, b[ et ]0 ; 1[ et sa réciproque permet de définir la variable aléatoire F⁻¹(U) de densité ρ.

Démonstration

La variable X = F⁻¹(U) a ses valeurs dans ]a, b[ et pour tout (c, d) ∈ ]a, b[² tel que c < d on a P(c < X < d) = P(F(c) < U < F(d) = F(d) − F(c) = ∫_c^d ρ(t) dt.

Définition

Soit X une variable aléatoire à densité ρ sur un intervalle I et dont la fonction de répartition soit strictement croissante sur I.
Pour tout α ∈ ]0 ; 1[, le quantile d’ordre α est l’unique antécédent de α par F_X.
En particulier, la médiane de X est l’unique réel m ∈ ]a, b[ tel que P(X ≤ m) = P(X ≥ m) = 1/2.

Si X ↝ 𝒰(]a, b[), sa médiane vaut (a+b)/(2).
La médiane d’une variable exponentielle de paramètre λ vaut (ln(2))/(λ).
La médiane d’une variable normale est son premier paramètre.
Une variable normale centrée réduite admet un quantile d’ordre 0,975 qui vaut environ 1,96.

Espérance

Définition

Si X est une variable aléatoire réelle avec une fonction de densité ρ nulle en dehors d'un intervalle ]a, b[, on dit qu'elle X admet une espérance si la fonction t ↦ |t| ρ(t) est intégrable. Dans ce cas l’espérance de X est la valeur de l’intégrale E(X) = ∫_a^b t ρ(t) dt.

Une variable uniforme sur un segment [a, b] admet une espérance (a + b)/2.
Une variable exponentielle X de paramètre λ admet une espérance E(X) = 1/λ.
Le premier paramètre de la loi normale est son espérance.

Remarque

Si l’intervalle ]a, b[ n’est pas inclus dans R⁺, l’intégration sur R⁻ revient à prendre l’opposé de l’intégrale de la valeur absolue.

Propriété

Soit X une variable aléatoire réelle à densité. Si elle admet une espérance, alors on obtient d'une part P(X ≤ t) = o_t→−∞(1/t) et P(X ≥ t) = o_t→+∞(1/t), d'autre part les intégrales ∫_−∞⁰ P(X ≤ t) dt et ∫₀^+∞ P(X ≥ t) dt convergent avec E(X) = ∫₀^+∞ P(X ≥ t) dt − ∫_−∞⁰ P(X ≤ t) dt.

On peut donc étendre la définition de l'espérance pour des variables aléatoires réelles qui ne sont pas forcément à densité.

Propriété

L’espérance est linéaire : si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance alors pour tout λ ∈ R on a E(X + λY) = E(X) + λ E(Y).

Propriété

L’espérance est croissante : si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance telles que P(X ≤ Y) = 1 alors E(X) ≤ E(Y).

Théorème de transfert: Si X est une variable aléatoire réelle de densité f et admettant une espérance, alors |X| admet aussi une espérance et E(|X|) = ∫_−∞^+∞ |t| ρ(t) dt. Pour toute fonction continue et strictement croissante g, dérivable et dont la dérivée ne s'annule pas sauf éventuellement en un nombre fini de points, la composée g(X) admet une espérance si et seulement si la fonction t ↦ |g(t)| ρ(t) est intégrable et dans ce cas E(g(X)) = ∫_−∞^+∞ g(t) ρ(t) dt .

Propriété

Soit X une variable aléatoire réelle à densité. Si X est bornée alors elle admet une espérance.

Démonstration

Puisque X est bornée, elle admet une fonction de densité f nulle en dehors d’un segment [a,b]. En notant M = max(|a|, |b|), on trouve ∫_a^b |t| f(t) dt ≤ ∫_a^b M f(t) dt = M × 1 donc l’intégrale converge et X admet une espérance.

Remarque

Il ne faut pas confondre une variable (à densité) bornée et une variable dont la densité est bornée. Par exemple, une variable exponentielle n’est pas bornée mais sa densité l’est. Inversément, si X est une variable de densité x ↦ − ln(x) sur l’intervalle ]0, 1], la fonction de densité n’est pas majorée (elle tend vers +∞ en 0) mais la variable est bornée (puisque son support est ]0, 1[). Une variable uniforme est bornée avec une fonction de densité bornée. Enfin, la densité t ↦ 1/(π√x(1 + x)) n’est pas bornée sur ]0, +∞[ et toute variable qui suit cette densité n’est pas bornée non plus.

Moments d’ordre supérieur

Définitions

Soit X une variable aléatoire réelle. Soit r ∈ N^∗.

On dit que X admet un moment d'ordre r si la puissance X^r admet une espérance et dans ce cas ce moment est égal à E(X^r).

Si X admet une espérance, on dit que X admet un moment centré d'ordre r si la puissance (X − E(X))^r admet une espérance et dans ce cas ce moment est égal à E((X − E(X))^r).

La variance est le moment centré d'ordre 2, et l’écart type est sa racine carrée σ(X) = √(V(X)).

Propriété

Une variable aléatoire réelle à densité admet un moment centré d'ordre r si et seulement si elle admet un moment d'ordre r.

Propriété

Si une variable aléatoire réelle à densité admet un moment d'ordre r alors elle admet un moment d'ordre q pour tout entier naturel q ≤ r.

Propriété

La variance est quadratique et invariante par l’addition d’une constante : pour toute variable aléatoire X admettant un moment d’ordre 2, pour tout (a, b) ∈ R², V(aX + b) = a²V(X).

Formule de Koenig-Huygens: Si X est une variable aléatoire à densité admettant un moment d'ordre 2, alors V(X) = E(X²) − E(X)².

Propriété

Soit X une variable aléatoire réelle de densité ρ et admettant un moment d’ordre 2. La variable X^∗ = (X − E(X))/(σ(X)) est centrée réduite, c’est-à-dire qu’elle a une espérance nulle et une variance qui vaut 1.
Sa densité s’écrit ρ^∗(x) = σ(X) ρ(σ(X)x + E(X))