Exercices sur les variables aléatoires à densité

Exercice

ENS 2015 exercice 3

On note X une variable aléatoire réelle dont la densité f vérifie f(x) = 1 pour tout x ∈ [−1/2, 1/2] et est nulle en dehors de cet intervalle.

Calculer P(X ≤ −1), P(X = 0) et P(X ≥ 0).
Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
Les variables X et −X sont-elles de même loi ?

Exercice

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ ∈ R^∗. On pose Y = ⌊X⌋ sa partie entière.

Déterminer la loi de Y et celle de X − Y.
Calculer l’espérance de X − Y.

Exercice

ENS 2016 problème question 5

Soit R une variable à densité sur R⁺ dont la densité est donnée par la fonction f : x ↦ x e^−x²/2.

Calculer P(R ≥ u) pour tout u ≥ 0.
Est-ce que R admet une espérance ? Si oui, la calculer. On pourra utiliser la valeur de la variance d’une variable aléatoire gaussienne centrée réduite.

Exercice

ENS 2017 problème A question 5.b

Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b.

Soit V une variable uniforme sur [0, b]. La variable aléatoire (1)/(V) a-t-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Reprendre la même question avec V uniforme sur [a, b].

Exercice

Déterminer a ∈ R tel que la fonction f définisse une fonction de densité dans chacun des cas suivants :

f : x ↦ ax(1 − x) sur [0 ; 1]
f : x ↦ (a)/(x^3/2) sur [1 ; +∞[
f : x ↦ (1)/(x) sur [1 ; a]
f : x ↦ ax exp(−x) sur [0 ; +∞[
f : x ↦ a ln^k(x) sur ]0 ; 1]
f : x ↦ a sin²(x) sur [0 ; π]
f : x ↦ (a)/(√(1 − x²)) sur ]−1 ; 1[
f : x ↦ ax² exp(−x²) sur R⁺
f : x ↦ (a)/(1 + x²) sur R
f : x ↦ (1)/(a + x²) sur R
f : x ↦ (1)/(1 + ax²) sur R

Calculer l’espérance et la variance si elles existent dans chaque cas.

Exercice

Soit X une variable aléatoire à densité. Déterminer la fonction de répartition et la fonction de densité de X², de e^X, de |X|, de 1/|X| et de ln(|X|) dans les cas suivants :

X ↝ 𝒰([0 ; 2])
X ↝ 𝒰([1 ; 2])
X ↝ 𝒰([(−1)/(2), (1)/(2)])
X ↝ ℰ(λ)
X ↝ 𝒩(0 ; 1)
P(1 ≤ X ≤ x) = 1 − x^−α

Calculer l’espérance et la variance de ces variables si elles existent.

Exercice

Soit X une variable aléatoire réelle à densité. Soit k ∈ R^∗. Déterminer les variations de la fonction a ↦ P(a ≤ X ≤ ka) sur R^∗ si X est une variable exponentielle, si elle est normale centrée réduite, ou si elle admet pour fonction de densité la fonction f : x ↦ (1)/(x²) sur [1 ; +∞[.

Exercice

ENS 2015 exercice 3

On considère une famille (X_k)_{k∈ N^∗} de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [(−1)/(2), (1)/(2)].

Pour tout n ∈ N^∗, expliciter la loi de M_n = max(X₁, … , X_n).
Calculer en particulier P(M₂ ≥ 1/3).
Si N est une variable aléatoire discrète telle que N − 1 suive une loi de Poisson de paramètre λ ∈ R^∗+, expliciter la loi de M_N.

Exercice

Soit a ∈ N^∗ et (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [0 ; a].

Déterminer la loi de M = max(X₁, … , X_n) et celle de L = min(X₁, … , X_n). On pourra calculer pour tout k ∈ ⟦1 ; n⟧, P(M ≤ k) = P(X₁ ≤ k, X₂ ≤ k, … , X_n ≤ k).
Les variables L et M sont-elles indépendantes ?
Calculer l’espérance et la variance de M et de L.

Exercice

ENS 2017 planche 6 exercice 1

Soit n ≥ 1 un entier et (X_i)_1≤i≤n une famille de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On pose M_n = max(X₁, … , X_n).

Montrer que M_n admet une densité, qu’on déterminera et qu’on représentera graphiquement.
Déterminer la valeur de la limite de (E(M_n))/(ln(n)) lorsque n tend vers +∞. On pourra utiliser, sans preuve, le fait que E(Y) = ∫₀^∞ P(Y ≥ u) du pour toute variable aléatoire positive Y et faire un changement de variable dans l’intégrale.

Exercice

ENS 2017 planche 12 exercice 1

Soit n ≥ 1 un entier et (X_i)_1≤i≤n une famille de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1. On pose m_n = min(X₁, … , X_n) et M_n = max(X₁, … , X_n).

Déterminer la loi de m_n. Montrer qu’elle admet une espérance et la calculer.
Montrer que pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ on a P((M_n)/(ln(n)) ≤ 1 − ε) → 0 quand n → +∞.
Montrer que pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ on a P((M_n)/(ln(n)) ≥ 1 + ε) → 0 quand n → +∞.
Montrer que pour tout ε ∈ ]0 ; 1[ on a lim_{n → +∞} P(1 − ε < (M_n)/(ln(n)) < 1 + ε) = 1.

Exercice

Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de densité f qui ne s'annule pas sur un intervalle réel I et admettant une espérance.

Montrer que la fonction g : m ↦ ∫_−∞^m t f(t) dt est bien définie, continue et dérivable sur R et préciser ses variations et limites à l'infini.
En supposant E(X) ≠ 0, montrer qu'il existe un unique réel m ∈ I tel que g(m) = E(X)/2.
En supposant E(X) ≠ 0, montrer que la fonction g ne s'annule pas à l'intérieur de I.

Problèmes

Problème : loi log-normale

HEC 2019 exercice 4

Soit X une variable aléatoire normale centrée réduite, Y une variable aléatoire normale d’espérance m et de variance σ², et on pose Z = exp(Y). On dit alors que Z suit une loi log-normale et on note Z ↝ ℒ𝒩(m, σ²).

Établir pour tout s ∈ R, l’égalité E(exp(sX)) = exp(s²/2).
En déduire la convergence et les valeurs de E(Z) et V(Z).
Exprimer la fonction de répartition de Z à l’aide de celle de X.
En déduire l’expression d’une fonction de densité pour Z.
Montrer que R = 1/Z suit aussi une loi log-normale dont on précisera les paramètres.

Problème

BCE 2020 exercice 1

Montrer que la fonction f définie pour tout t ∈ R par f(t) = 1/(ln(2) (1 + t)) si t ∈ [0, 1] et f(t) = 0 sinon, définit bien une densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire suivant la densité f. Montrer qu’elle admet une espérance valant E(X) = (1 − ln(2))/ln(2).
En utilisant l’égalité z² = z(1 + z) − z valable pour tout z ∈ R, montrer que la variable X admet aussi une espérance et la calculer.
Déterminer la fonction de répartition F de X et montrer que l’équation F(x) = 1/2 admet une unique solution notée x₀ que l’on déterminera, puis tracer la courbe représentative de F dans le plan muni d’un repère orthonormé. (On donne l’approximation ln(2) ≈ 0,7.)

Problème

ENS 2017 problème A question 5

Soit V une variable aléatoire à densité uniforme sur un intervalle [a, b] ⊂ R. Soit f : mx + p une fonction affine non constante.

Montrer que f(V) est une variable uniforme entre les valeurs f(a) et f(b).
Justifier que E(f(V)) = f(E(V)).
On définit une suite de variables aléatoires par V₀ = V et pour tout n ∈ N, V_n+1 = f(V_n) avec u_n = E(V_n). À quelle condition la suite (u_n) converge-t-elle ? Préciser sa limite dans ce cas.

Problème

ENS 2018 problème C troisième partie

Soit X une variable aléatoire réelle à densité sur R^+∗. On suppose que sa fonction de répartition est continue et on pose ¯(F)(u) = P(X ≥ u) pour tout u ∈ R.

Justifier que la fonction ¯(F) est continue.
Montrer que pour tout entier n ≥ 1 il existe a_n ≥ 0 tel que ¯(F)(a_n) = (1)/(n).
On suppose uniquement dans cette question, que X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Déterminer la valeur de a_n.
On suppose que X admet une espérance. Montrer que E(X) ≥ (a_n)/(n).
On suppose que lim_n→+∞ (a_n)/(n) = +∞. Montrer que X n’admet pas d’espérance.

Problème

Soit a ∈ R. On définit la fonction f : x ↦ (a)/(1 + x²) sur R.

Déterminer la valeur de a pour que la fonction f définisse une fonction de densité.
Si X est une variable aléatoire admettant la fonction f comme densité, admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
On considère trois variables X₁, X₂, X₃ indépendantes et admettant la fonction f comme densité. On appelle M la valeur médiane de ces trois variables. Soit x ∈ R.
1. Calculer la probabilité P(max(X₁, X₂, X₃) ≤ x).
2. Calculer la probabilité P(max(X₁, X₂) ≤ x ≤ X₃).
3. En déduire que P(M ≤ x) = ((1)/(2) + (1)/(π) arctan(x))² (2 − (2)/(π) arctan(x))

Problème

ENS 2015 exercice 3 partie II

Soit (X₁, … , X_n) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur [(−1)/(2), (1)/(2)]. On pose S_n = ∑_k=1ⁿ X_k.

En notant f : x ↦ (e^x − e^−x)/(2), montrer que pour tout réel λ > 0 on a E(e^λS_n) = ((f(λ/2))/(λ/2))ⁿ.
Montrer que E(|S_n|) ≤ √(E(S_n²)).
Calculer V(S_n) et en déduire que E(|S_n|) ≤ (√(3))/(6)√(n).

Problème

Soit (a, b,c) ∈ R³ tel que a < b < c. Une variable aléatoire réelle X suit une loi triangulaire de paramètres (a, b,c) si elle admet une fonction de densité f nulle sur ]−∞, a] et sur [c, +∞[ mais affine sur [a, b] et sur [b, c].

Déterminer une expression de la fonction f. On pourra commencer par noter h = f(b) puis calculer h pour que l’intégrale de la fonction f vaille 1.
Calculer l’espérance et la variance de X.

Problème

ENS 2019 planche 2 exercice 2

On pose f : x ∈ R ↦ e^−x/(1 + e^−x)².

Justifier que f est une fonction de densité. On notera X une variable aléatoire admettant cette fonction de densité.
Calculer la fonction de répartition de X.
Soit φ : x ∈ R ↦ 1/(e^x + 1). Montrer que φ réalise une bijection de R sur ]0, 1[ et calculer φ⁻¹.
Soit U une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1]. Donner la loi de la variable aléatoire φ⁻¹(U).
Proposer une procédure pour obtenir n réalisations indépendantes ayant la loi de X à partir d’appels à la fonction rand() d’un ordinateur, qui produisent des échantillons indépendants de la loi uniforme.

Problème

ENS 2019 planche 3 exercice 1

Un escargot se déplace à une vitesse aléatoire V (exprimée en m/h). On considère que V est une variable aléatoire dont la densité est la fonction suivante : f : x ∈ R ↦ { 0 si x < 0 κ si 0 ≤ x < 1 κ/x⁴ si 1 ≤ x, où κ est une constante à déterminer.

Calculer κ.
Représenter graphiquement l’allure de la fonction f.
Calculer la vitesse moyenne de l’escargot, ainsi que la variance associée.
Calculer la fonction de répartition de V.
L’escargot veut se rendre de son domicile à son lieu de travail qui est situé à 2 m. Le temps nécessaire pour effectuer ce parcours est noté T, et on rappelle que T = 2/V. Donner la fonction de répartition de T.
En déduire la densité de T.

Variables aléatoires à densité

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