Exercices sur les nombres complexes
Énoncés
On note z1 = 2 + 3i et z2 = 5 − i.
Calculer z1 + z2,
z1 − z2,
z1 × z2,
z1/z2
et z2/z1.
Résoudre les équations suivantes dans
C :
- z2 − z + 4 = 0
- z2 − 4z + 4 = 0
- z + 2/z = 1
- 2/z
− 3/(z − 1) = 1
- z4 + z2 − 6 = 0
- z4 + 5z2 − 6 = 0
Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes i − 1, (i − 3)(i + 3), −ei, √7
Soit (α, β) ∈ R2.
Déterminer la forme exponentielle de eiα + eiβ.
On pourra factoriser par ei(α+β)/2.
ENS 2010
À partir de la formule de De Moivre, montrer que pour tout
a ∈ R,
cos(2a) = (cos(a))2 − (sin(a))2 et
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
ENS 2008 problème 1
En utilisant l’exponentielle complexe, montrer que pour tout
(a, b) ∈ R2 on a
cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos(a) cos(b).
Exercice : Division de l’angle
- Montrer que pour tout θ ∈ R on a
cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
- Rappeler la valeur de cos(π/4) et en déduire la valeur de cos(π/8) puis calculer sin(π/8).
- Montrer que pour tout θ ∈ ]π/4, π/2[ on a
tan(2θ) = (2 tan(θ))/(1 − tan2(θ)).
- En déduire que tan(3π/8) est racine du polynôme P : x ↦ x2 − 2x − 1 et préciser sa valeur.
Soit
z = a + ib ∈ C.
On veut résoudre l’équation
z2 = 4 − 3i.
- Calculer |z|2.
- Résoudre l’équation en séparant les parties réelle et imaginaire.
Soit n ∈ N∗.
Calculer ∑k=0n−1 e2ikπ/n
et ∏k=0n−1 e2ikπ/n.
Soit
n ∈ N∗ et
θ ∈ R.
Calculer
∑k=0n
sin(kθ).
On utilise la formule d’Euler puis on reconnait des sommes géométriques :
∑k=0n (eikθ − e−ikθ)/2i
= 1/2i (∑k=0n (eiθ)k − ∑k=0n (e−iθ)k)
= 1/2i ((1 − ei(n+1)θ)/(1 − eiθ) − (1 − e−i(n+1)θ)/(1 − e−iθ)).
Puis on applique la méthode de l’angle moitié pour trouver
1/2i
(
(ei(n+1)θ/2(e−i(n+1)θ/2 − ei(n+1)θ/2))/(eiθ/2(e−iθ/2 − eiθ/2))
− (e−i(n+1)θ/2(ei(n+1)θ/2 − e−i(n+1)θ/2))/(e−iθ/2(eiθ/2 − e−iθ/2)))
= 1/2i (einθ/2−sin((n + 1)θ/2)/−sin(θ/2) − e−inθ/2sin((n + 1)θ/2)/sin(θ/2))
= sin(nθ/2) sin((n + 1)θ/2)/sin(θ/2).
Montrer que pour tout
n ∈ N,
pour tout
x ∈ ]0 ; π/2],
(sin((2n + 1) x))/(sin(x))
= 1 + 2 ∑k=1n
cos(2kx).
On utilise les formules d’Euler pour écrire
1 + 2 ∑k=1n
cos(2kx)
= 1 + ∑k=1n (e2ikx
+ e−2ikx)
= 1 + ∑k=1n e2ikx
+ ∑k=−n−1 e2ikx
= ∑k=−nn e2ikx
.
On reconnait ensuite une somme géométrique pour obtenir
e−2inx
(1 − e2i(2n+1)x)/(1 − e2ix).
Avec la méthode de l’angle moitié, on trouve
e−2inx
(ei(2n+1)x(e−i(2n+1)x − ei(2n+1)x))/(eix(e−ix − eix))
= sin((2n + 1)x)/sin(x).
Problèmes
- Montrer que pour tout x ∈ R
on a sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
et cos(2x) = cos2(x) − sin2(x).
- Montrer que pour tout x ∈ ]0 ; π[ on a
(sin(x))/(1 − cos(x)) = (1)/(tan(x/2)).
- Pour tout entier n ≥ 2, on note
Sn
= ∑k=0n−1
sin((kπ)/(n)).
Montrer que Sn
= (1)/(tan((π)/(2n))).
- Déterminer la limite de (Sn)/(n) lorsque n → +∞.