Géométrie analytique
Pour chacune des descriptions de droites ci-dessous, déterminer une représentation paramétrique, une équation cartésienne et l’équation réduite.
- {(2 + 3t, 3 − 2t), t ∈ R}
- {(t + 5, 4 + t), t ∈ R}
- {(7t − 1, 6), t ∈ R}
- {(2t + 1, 2t − 1), t ∈ R}
-
y = 5x − 1
-
y = x
-
y − 3x = y + 2x
- 6y + 5x = 1
- 3x − 4y = 7
- 9x = 5y − 2
- (x − 3)2 + (y + 1)2
= (x + 4)2 + (y − 2)2
Déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites portant les côtés du triangle dont les sommets ont pour coordonnées
A : (2 ; 4),
B : (4 ; −3),
C : (−1 ; 1).
Représenter les droites d’équations respectives
5x − 3y = 7
et 3x − y = 3 et déterminer les coordonnées du point d’intersection par la résolution d’un système.
Déterminer l'intersection des droites d'équations respectives
2x + 3y + 7 = 0
et 5x − y + 4 = 0.
Dans le plan muni d'un repère cartésien, déterminer l'intersection des droites d'équations y = 2x + 7 et y = 4 − x puis déterminer une équation sous forme canonique de la droite passant par les points A (−2 ; 3) et B (3 ; −1).
Soit m ∈ R.
Déterminer l'intersection des droites d'équations respectives
(4 − m)x − 3y + 2 = 0
et 3x − (2m + 3)y + 6 = 0.
Soit t ∈ R.
Déterminer les points d’intersection des droites d’équation
(t + 4)x − 3y = 5 + 2t
et 3x + (2t − 3)y = 5 − 2t.
La distance entre deux points
A : (xA, yA)
et
B : (xB, yB) s’écrit
AB = √((xA − xB)2 + (yA − yB)2).
- Calculer la distance AB
avec A : (1 ; 5),
B : (3 ; −1).
- Exprimer la distance d’un point M(x, y) au point A.
- Déterminer tous les points qui sont à égale distance de A
et B.
- Déterminer les points qui sont à égale distance de A, B et C : (−2, 1).
Systèmes d’équations linéaires
Résoudre les systèmes suivants d'inconnues réelles
x et
y, avec un éventuel paramètre
m ∈ R.
- {y = 5x + 3 ;y = 2x − 1
- {2x + 3y − 5 = 0 ;4x − y + 2 = 0
- {3x − 4y = 1 ;2x + my = 3
- {2x − 3y = 5 ;4x + my = 4 − m
- {mx + (m + 6)y = 3 ;x − my = 1
- {mx + 5y = 2 ;x + (m − 4)y = −2
- {(5 − m)x − 2y = 4 ;7x − (4 + m)y = 14
Résoudre le système suivant de paramètre t ∈ R
et d’inconnues réelles x et y :
{(t + 4)x − 3y = 5 + 2t ;3x + (2t − 3)y = 5 − 2t.
Résoudre les systèmes suivants à l'aide de la méthode du pivot de Gauss
- {x + 2y + 3z = 0 ;4x + 5y + 6z = 0 ;7x + 8y + 9z = 0
- {x + 2y + 3z = 0 ;6x + 5y + 4z = 0 ;7x + 8y + 9z = 0
- {x + 2y + 3z = 0 ;8x + 9y + 4z = 0 ;7x + 6y + 5z = 0
- {x + 2y + 3z = 0 ;2x + 4y + 6z = 0 ;3x + 6y + 9z = 0
- {x + 2y + 3z = 1 ;4x + 5y + 6z = 0 ;7x + 8y + 9z = −1
- {5x + y − z = 0 ;2x + 4y − 2z = 2 ;x − y + 3z = −2
Soit m ∈ R.
Résoudre le système d'équations linéaires suivant :
{mx + y + z = 1 ;
x + my + z = m ;
x + y + mz = m2.
Déterminer les coefficient réels d’un polynôme du second degré
P : x ↦ ax2 + bx + c tel que
P(1) = 1, P(2) = 2
et P(3) = 4.
Déterminer les coefficients du polynôme du second degré P tel que P(1) = 3, P(2) = 1 et P(3) = 0.
Quelles sont les solutions en remplaçant la deuxième condition par P′(2) = 1 ? et par P′(2) = 0 ?
Exercice :
Polynôme d’interpolation
Déterminer les coefficients a, b, c, d pour que la fonction P : x ↦ ax3 + bx2 + cx + d vérifie les quatre équations P(0) = 1,
P(1) = 2,
P(2) = 4
et P(3) = 8.
Soit n ∈ N avec n ≥ 2. Résoudre le système formé par les équations xi + xi+1 = 0 pour tout entier i entre 1 et n−1 et l'équation xn + x1 = 0.
Familles de vecteurs
Justifier que les vecteurs (1 ; 3) et (2 ; 4) forment une base de R2
et déterminer les coordonnées du vecteur (1 ; 5) dans cette base.
On note
u
= (1, 2, 3),
v = (−1, 1, 1),
w = (5, −4, 1).
- La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice de R3 ? Est-ce une base ?
- Déterminer une décomposition du vecteur x = (1, 1, 1) sur cette famille.
On pose
u = (2 ; −3 ; 2),
v = (5 ; 3 ; −4),
w = (3 ; −1 ; 0).
- Calculer 2·u − 3·v − w.
- La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice ?
- Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v
+ c·w = (−1 ; −2 ; 2)
On pose
u = (5 ; −1 ; 2),
v = (−3 ; 2 ; 0),
w = (1 ; 5 ; 4).
- Calculer 2u − v + 3w.
- Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v + c·w = (4 ; 1 ; 2).
- La famille (u, v, w) est-elle libre ?
- Montrer que les vecteurs (1 ; 1 ; 2), (1 ; 2 ; 1) et (2 ; 1 ; 1) forment une base de R3, puis calculer les coordonnées du vecteur (1 ; 2 ; 3) dans cette base.
- Soit m ∈ R.
À quelle condition sur m
les vecteurs u = (1 ; 1 ; m)
et v = (1 ; m ; 1)
sont-ils colinéaires ?
- Dans le cas où u et v ne sont pas colinéaires, le vecteur w = (m, 1, 1) appartient-il à Vect(u, v) ?
Quelles sont alors les coordonnées de w dans la base (u, v) ?
- À quelle condition sur m
les vecteurs u, v
et w forment-ils donc une base de R3 ?
On pose
u = (1 ; 1 ; 1),
v = (2 ; 3 ; −1),
w = (4 ; 9 ; 1).
- Montrer que la famille (u, v, w) est libre et génératrice dans R3.
- Décomposer le vecteur (1 ; 2 ; 3) sur cette famille.
- On s’intéresse plus généralement à une famille de vecteurs de la forme
u = (1 ; 1 ; 1),
y = (p ; q ; r),
z = (p2 ; q2 ; r2)
où p, q et r sont trois réels quelconques.
- La famille (u, y, z) peut-elle être libre si p = q ?
- Soit (a, b, c) ∈ R3 tel que a·u + b·y + c·z = 0. Montrer que la fonction x ↦ cx2 + bx + a s’annule en p, q et r.
- En déduire que la famille est libre si les réels p, q et r sont tous différents deux à deux.
À quelle condition sur les réels
a, b
les familles de vecteurs ci-dessous sont-elles des bases ? Déterminer une équation de l’espace engendré dans le cas contraire.
- (a, b, 0), (b, a, b),
(0, b, a)
- (1, b, 0), (a, 1, b), (0, a, 1)
- (1, a, b), (b, 1, a), (a, b, 1)
- (1, a, b), (a, a2, ab), (b, ab, b2)
- (0, a, b), (a, 2a, a + b), (b, a + b, 2b)
- (1, 1 + a, 1 + b), (1 + a, 2a, a + b), (1 + b, a + b, 2b)
- (1, 1/(1+a), 1/(1+b)),
(1/(1+a), 1/(2a), 1/(a+b)),
(1/(1+b), 1/(a+b), 1/(2b)),
Sous-espaces vectoriels
Déterminer une base et la dimension de l’espace des solutions pour chacun des systèmes homogènes définis plus haut.
Déterminer une base et la dimension de chacun des espaces suivants :
- Vect((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9))
- Vect((1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9))
- Vect((4, 2, 1), (−1, 2, 7))
On considère 4 points de coordonnées A(1, 0), B(2, 3), C(4, 1), D(5, 4).
- Représenter les 4 points dans le plan.
- Calculer les coordonnées du point moyen (x¯, y¯).
- Expliciter la liste des différences (xi − x¯)
et (yi − y¯).
- Calculer la valeur de la variance Vx
et la valeur de la covariance covx,y.
- En déduire que la droite de régression linéaire a pour équation
y = 3/5 x + 1/5 et tracer cette droite.
- On considère un point M(0, t) sur l'axe des ordonnées, avec t ∈ R.
Déterminer une équation de la droite (MD).
- En déduire l'intersection de la droite (MD) avec la droite de régression.