{5x + y − z = 0 ;2x + 4y − 2z
= −2 ;x − y + 3z = 2
Exercice
Dans le plan muni d'un repère cartésien, déterminer l'intersection des droites d'équations y = 2x + 7 et y = 4 − x puis déterminer une équation sous forme canonique de la droite passant par les points A (−2 ; 3) et B (3 ; −1).
Exercice
Déterminer les coefficients du polynôme du second degré P tel que P(1) = 3, P(2) = 1 et P(3) = 0.
Quelles sont les solutions en remplaçant la deuxième condition par P′(2) = 1 ? et par P′(2) = 0 ?
Soit n ∈ N avec n ≥ 2. Résoudre le système formé par les équations xi + xi+1 = 0 pour tout entier i entre 1 et n−1 et l'équation xn + x1 = 0.
Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout x ∈ R \ {1 ; 3},
1/((x − 1)2(x − 3))
= (ax + b)/(x − 1)2
+ c/(x − 3)
ENSAI 2008 Exercice 1
Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout θ ∈ R \ {1 ; 3},
cos(5θ) = a cos5(θ) + b cos(θ)3 + c cos(θ).
Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout n ∈ N,
∑k=0nk2 = an3 + bn2 + cn.
ExerciceSoit λ ∈ R.
On considère le système
{(2 − λ)x − y + z
= 0 ;x − λy − z = 0 ;2x − 4y − (1 + λ)z = 0.
Résoudre le système dans le cas particulier λ = 2.
En supposant λ ≠ 2, montrer à l'aide du pivot de Gauss que le système peut se réécrire
{2x − 4y − (1 + λ)z = 0 ;(2 − λ)y
+ (λ−1)/2z = 0 ;P(λ))/(2 − λ)z = 0
où P est un polynôme du second degré que l'on déterminera.
En déduire que le système admet une solution non nulle si et seulement si λ est une racine de P.
ENS 2013
Exercice
Déterminer les valeurs de λ ∈ R pour lesquelles le système n'est pas de Cramer dans chacun des cas suivants.
{x + y = λx ;y = λy
{x + y = λx ;x + 2y = λy
ENS 2012 exercice I B
Exercice
BCE 2020 exercice 1 question 4a
Soit x ∈ [0, 2]. Résoudre le système d’inéquations
{0 ≤ t ≤ 1 ;0 ≤ x − t ≤ 1.