Exercices sur les systèmes d'équations linéaires

Énoncés

Exercice
Résoudre les systèmes suivants d'inconnues réelles x et y, avec un éventuel paramètre mR.
Exercice
Résoudre les systèmes suivants à l'aide de la méthode du pivot de Gauss
Exercice
Dans le plan muni d'un repère cartésien, déterminer l'intersection des droites d'équations y = 2x + 7 et y = 4 − x puis déterminer une équation sous forme canonique de la droite passant par les points A (−2 ; 3) et B (3 ; −1).
Exercice
Déterminer les coefficients du polynôme du second degré P tel que P(1) = 3, P(2) = 1 et P(3) = 0.
Quelles sont les solutions en remplaçant la deuxième condition par P′(2) = 1 ? et par P′(2) = 0 ?

Soit nN avec n ≥ 2. Résoudre le système formé par les équations xi + xi+1 = 0 pour tout entier i entre 1 et n−1 et l'équation xn + x1 = 0.

Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout xR \ {1 ; 3}, 1/(x − 1)2(x − 3) = ax + b/(x − 1)2 + c/(x − 3)
ENSAI 2008 Exercice 1
Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout θR \ {1 ; 3}, cos(5θ) = a cos5(θ) + b cos(θ)3 + c cos(θ).
Exercice
Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que pour tout nN, k=0n k2 = an3 + bn2 + cn.
Exercice
Soit λR. On considère le système {(2 − λ)xy + z = 0 ;xλyz = 0 ;2x − 4y − (1 + λ)z = 0.
  1. Résoudre le système dans le cas particulier λ = 2.
  2. En supposant λ ≠ 2, montrer à l'aide du pivot de Gauss que le système peut se réécrire {2x − 4y − (1 + λ)z = 0 ; (2 − λ)y + (λ−1)/2 z = 0 ; P(λ))/(2 − λ) z = 0P est un polynôme du second degré que l'on déterminera.
  3. En déduire que le système admet une solution non nulle si et seulement si λ est une racine de P.
ENS 2013
Exercice
Déterminer les valeurs de λR pour lesquelles le système n'est pas de Cramer dans chacun des cas suivants.
ENS 2012 exercice I B
Exercice
BCE 2020 exercice 1 question 4a
Soit x ∈ [0, 2]. Résoudre le système d’inéquations {0 ≤ t ≤ 1 ; 0 ≤ xt ≤ 1.