Exercices de diagonalisation

Problème

Ecricome 2010 problème 1.3

Soit A une matrice carrée vérifiant la relation suivante : A² + A − 6 I = 0.

1. Quelles sont les valeurs propres possibles pour A ?
2. La matrice A= [[7 ;5 ;−5][10 ;2 ;−5][20 ;10 ;−13]] est-elle diagonalisable ?

Problème

Ecricome 2007 question 1.1.2

En utilisant la méthode du pivot de Gauss, montrer que λ ∈ R est valeur propre de A = [[2 ;(−5)/(4) ;(1)/(4)][1 ;0 ;0][0 ;1 ;0]] si et seulement si λ est racine du polynôme P(x) = 4x³ − 8x² + 5x − 1.
Vérifier que le polynôme P a une racine double. La matrice A est-elle diagonalisable ?

Problème

Ecricome 2001 problème II

On pose M = [[−7 ;0 ;8][4 ;1 ;4][4 ;0 ;5]] et J = [[−1 ;0 ;2][1 ;1 ;1][1 ;0 ;2]] et on note I la matrice identité de taille 3.

1. Montrer qu'il existe (a, b) ∈ R² tel que M = aI + bJ.
2. Montrer que J est diagonalisable et en déduire que M également.
3. On note j l'endomorphisme représenté par M dans la base canonique de R³. Donner une matrice P de passage de la base canonique à une base B dans laquelle l'endomorphisme j est représenté par une matrice diagonale D.
4. Pour tout n ∈ N, exprimer les coefficients de Dⁿ puis ceux de Mⁿ.

Problème

BCE ESSEC 2011 problème 2 partie I

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Pour tout (a, b) ∈ R², on note M_a,b la matrice de 𝓜_n(R) dont tous les coefficients diagonaux valent a et tous les autres coefficients valent b. En particulier, on pose I = M_1,0 et J = M_1,1.

1. Justifier que le rang de J vaut 1 et indiquer une matrice colonne E₁ qui engendre Im(J)
2. Montrer que 𝓜_n,1(R) = Ker(J) ⊕ Im(J).
3. En déduire que J est diagonalisable et donner une base (E₁, … , E_n) de vecteurs propres de J.
4. Pour tout (a, b) ∈ R², exprimer M_a,b en fonction de a, b, I et J.
   En déduire que ses valeurs propres sont λ = a − b et μ = a + (n − 1)b.
   La matrice M_a,b est-elle diagonalisable ?

Problème

ENS 2012 exercice I questions 4 à 7

1. La matrice A = [[1 ;1][0 ;1]] est-elle diagonalisable ?
2. Montrer que l'ensemble des valeurs propres de la matrice C = A^TA s'écrit Sp(C) = {λ, μ} avec 0 < λ < μ < 3.
3. Déterminer un couple de matrices (P, D) ∈ ℳ₂(R)² tel que C = PDP^T avec P P^T = I₂ et D = [[λ ;0][0 ;μ]].

Problème : Multiplication par une matrice diagonalisable

BCE HEC 2012

Dans tout l’exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 et A et B sont deux matrices de ℳ_n(R) diagonalisables.

On définit trois endomorphismes de ℳ_n(R), en posant pour tout M ∈ ℳ_n(R) par f_A(M) = AM et g_B(M) = MB, puis h_A,B = f_A − g_B.

1. 1. Soit λ une valeur propre de A et X ∈ Rⁿ un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
      Montrer que X ^tX est un vecteur propre de f_A et donner la valeur propre associée.
   2. Soit θ une valeur propre de f_A. Montrer que la matrice A − θI_n n’est pas inversible.
   3. Déduire de ce qui précède que Sp(A) = Sp(f_A).
   4. Montrer que Sp(^tB) = Sp(B). En déduire que Sp(B) = Sp(g_B).
2. 1. Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé, μ une valeur propre de ^tB et Y un vecteur propre associé. Montrer que X ^tY est un vecteur propre de h_A,B et donner la valeur propre associée.
   2. Soit β une valeur propre de h_A,B et M un vecteur propre associé.
      Montrer, en utilisant le fait que B est diagonalisable, qu’il existe un vecteur propre V de B associé à une valeur propre μ tel que MV ≠ 0.
      En déduire qu’il existe un scalaire λ ∈ Sp(A) tel que β = λ − μ.
   3. Déduire de ce qui précède que Sp(h_A,B) = {λ − μ, λ ∈ Sp(A), μ ∈ Sp(B)}.
   4. Démontrer l’équivalence suivante : Sp(A) ∩ Sp(B) = ∅ ⇔ h_A,B est injective.
3. Soit (X₁, X₂, … , X_n) une base de Rⁿ et V un vecteur de Rⁿ. On note pour tout j ∈ ⟦1 ; n⟧, X_j = [[p_1,j][p_2,j][⋮][p_n,j]] et on pose P = (p_i,j)_1≤i,j≤n ∈ ℳ_n(R) avec V = [[v₁][v₂][⋮][v_n]].
   1. Déterminer en fonction des réels p_i,j et v_i, les éléments (l₁, l₂, … , l_n) de la matrice ^tVP.
   2. En déduire qu’il existe une unique famille de vecteurs (V_i) dans Rⁿ telle que pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, ^tV_i X_i = 1 et pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n⟧² tel que i ≠ j, on ait ^tV_i X_j = 0.
   3. En supposant que la base (X₁, X₂, … , X_n) est constituée de vecteurs propres de A, si (Y₁, Y₂, … , Y_n) est une base constituée de vecteurs propres de B, montrer que la famille (X_i ^tY_j)_1≤i,j≤n constitue une base de ℳ_n(R) et en déduire que h_A,B est diagonalisable.
4. Dans le cas où n = 2, A = [[1 ;2][4 ;3]] et B = [[1 ;1][1 ;1]], montrer que ces deux matrices sont diagonalisables et déterminer leurs vecteurs propres, puis en déduire une base de vecteurs propres pour h_A,B en précisant les valeurs propres associées.

Problème

ENS 2017 planche 8 exercice 2 deuxième partie

Soit A ∈ ℳ_m,n(R) telle que AA^T soit diagonalisable. On note X₁, … , X_m une base de vecteurs propres de AA^T, telle que les r premiers vecteurs soient associés aux valeurs propres non nulles.

1. Montrer que (A^TX₁, … , A^TX_r) sont des vecteurs propres de A^TA.
2. Montrer que la famille (A^TX₁, … , A^TX_r) est libre.
3. Montrer que la famille (A^TX₁, … , A^TX_r) peut être complétée en une base dans laquelle A^TA est diagonale.
4. Diagonaliser les matrices AA^T et A^TA lorsque A= [[1 ;−1 ;0][1 ;1 ;2]].
5. Les matrices AA^T et A^TA ont-elles les mêmes valeurs propres ?