Diagonalisation

Définitions
Matrices semblables, matrice diagonalisable
Résultats
Spectre et espaces propres de matrices semblables, puissances de matrices semblables
Caractérisation de la diagonalisabilité avec les vecteurs propres ou avec les espaces propres, matrices admettant un maximum de valeurs propres
Compétences
Déterminer si une matrice est diagonalisable à l’aide de la recherche de ses valeurs propres et vecteurs propres
Diagonaliser une matrice ou un endomorphisme.
Déterminer si deux matrices sont semblables lorsque l'une au moins est diagonalisable.
Exprimer les puissances d'une matrice carrée grâce à une diagonalisation.

Matrices diagonales

Propriété
L'ensemble des matrices diagonales de même taille n ∈ N∗ est stable par addition et par produit matriciel. Si A = Diag(λ1, … , λn) et B = Diag(μ1, … , μn) alors pour tout p ∈ N,

En particulier, toutes les matrices diagonales commutent.

Endomorphisme

Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

Définition
Soit φ un endomorphisme de E. On dit que φ est diagonalisable s’il admet une matrice représentative qui soit diagonale.
Propriété
Un endomorphisme φ ∈ L(E) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base de E qui soient constituée de vecteurs propres pour φ.
Démonstration
L’endomorphisme φ est diagonalisable si et seulement s’il existe une base ℬ = (x1, … , xn) de E et une famille (λ1, … , λn) de réels tels que la matrice représentative de φ dans la base ℬ soit Diag(λ1, … , λn) c’est-à-dire que pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧ on ait φ(xi) = λi·xi.
Propriété
Pour tout φ ∈ L(E), si card(Sp(φ)) = dim(E) alors φ est diagonalisable.
Démonstration
On note n = dim(E). Si Sp(φ) = {λ1, … , λn} avec pour tout i ≠ j, λi ≠ λj, alors en notant (x1, … , xn) une famille de vecteurs propres associés, la famille est libre avec n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n donc c’est une base de vecteurs propres.
Propriété
Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seulement si E est la somme de ses espaces propres.
Démonstration
Soit φ ∈ L(E).

Si φ est diagonalisable, alors il existe une base de E constituée de vecteurs propres pour φ, mais ces vecteurs appartiennent tous à la somme des espaces propres, donc celle-ci engendre E.

Réciproquement, si E est la somme des espaces propres, comme ceux-ci sont en somme directe, la concaténation de bases des espaces propres (constituées de vecteurs non nuls donc de vecteurs propres) donne une base de E.

Propriété
Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est égale à la dimension de E.
Démonstration
Comme l’espace E est de dimension finie, il est égal à la somme des espaces propres si et seulement s’ils ont la même dimension, et comme les espaces propres sont en somme directe, la somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de la somme.
Propriété
Toute puissance d’un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable dans la même base.
Démonstration
Si un endomorphisme φ est représenté par une matrice D diagonale, alors pour tout k ∈ N∗, la puissance φk est représentée par Dk qui est diagonale aussi.

Matrice

Définition
Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

En particulier, toute matrice diagonale est diagonalisable.

Propriété
Une matrice A ∈ ℳn(R) est diagonalisable si et seulement si son application associée est diagonalisable, c’est-à-dire si l’un des critères équivalents ci-dessous est vérifié.
  1. Il existe une base de Rn constituée de vecteurs propres pour A.
  2. La somme des espaces propres de A engendre Rn.
  3. La somme des dimensions des espaces propres de A vaut n.
Démonstration
On montre l’équivalence par double implication.

Toutes les matrices représentatives de l’application associée étant semblables, si l’une d’elle est diagonale, la matrice A est diagonalisable.

Réciproquement, si A est diagonalisable, il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que D = P−1AP donc en notant ℬ la base de Rn définie par les vecteurs colonnes de P, la matrice D représente l’application associée à A dans la base ℬ, donc l’application associée est diagonalisable.

Tous les critères équivalents ont été démontrés dans la partie précédente.

Propriété
Une matrice de A ∈ ℳn(R) admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.
Démonstration
Si la matrice admet n valeurs propres deux à deux distinctes, alors l’application associée aussi, donc elle est diagonalisable et la matrice aussi.
Remarque
La réciproque est fausse : la matrice identité n’a qu’une seule valeur propre mais elle est diagonalisable car diagonale.
Propriété
Une matrice est diagonalisable si et seulement si sa transposée est diagonalisable.
Démonstration
Soit A une matrice diagonalisable.

Il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que P−1AP = D, donc PTAT(P−1)T = DT = D avec ((P−1)T)−1 = PT, donc AT est diagonalisable.

La réciproque s’en déduit du fait que chaque matrice est la transposée de sa transposée.

Propriété
Deux matrices diagonalisables sont semblables si et seulement si elles ont le même spectre et si les espaces propres associés à une même valeur propre ont la même dimension.
Démonstration
L’implication directe est déjà démontrée.

Soit A et B deux matrices diagonalisables avec le même spectre et les mêmes dimensions d’espaces propres. Il existe deux matrices diagonales D et Δ telles que A soit semblable à D et B soit semblable à Δ. Mais chaque valeur propre apparait autant de fois sur la diagonale de D et de Δ que la dimension commune du sous-espace propre associé. Les deux matrices diagonales ont donc les mêmes coefficients diagonaux dans un ordre éventuellement différent et sont donc semblables (à l’aide de matrices de permutation). Par transitivité, on obtient que A est semblable à B.