Dans tout ce chapitre, on note K le corps des réels ou celui des complexes, dont les éléments sont alors appelés scalaires.
Soit n ∈ N∗. Un vecteur colonne à coefficients K est une liste d'éléments de K appelés composantes et notés verticalement de haut en bas. Un tel vecteur colonne est souvent noté à l'aide d'une lettre surmontée d'une flèche pointant vers la droite, à la manière des vecteurs géométriques.
L'ensemble des vecteurs colonnes à n composantes dans K s'identifie à l'ensemble Kn, auquel on adjoint deux opérations : l'addition composante par composante et la multiplication scalaire.
Pour tout (λ, x, y) ∈ K × Kn × Kn, en notant x = (x1 ; ⋮ ; xn) et y = (y1 ; ⋮ ; yn) , on pose x + y = (x1 + y1 ; ⋮ ; xn + yn) et λ.x = (λx1 ; ⋮ ; λxn) .
On vérifie que l'addition est associative et commutative, que le vecteur nul est bien neutre et que chaque vecteur a un vecteur opposé.
La multiplication scalaire est distributive à gauche par rapport à l'addition des scalaires et distributive à droite par rapport à l'addition des vecteurs.
On vérifie que pour tout (λ, μ, x, y) ∈ K × K × Kn × Kn, (λ + μ).x = λ.x + μ.x et λ.(x + y) = λ.x + λ.y.
La multiplication scalaire est pseudo-associative par rapport à la multiplication des scalaires, avec le scalaire 1 comme neutre à gauche, c'est-à-dire que pour tout (λ, μ, x) ∈ K × K × Kn, (λ × μ).x = λ.(μ.x) et 1.x = x.
Ces propriétés définissent la structure d'espace vectoriel.On dit qu'un vecteur y est engendré par une famille (x1, …, xp) de vecteurs colonnes s'il existe une famille de scalaires (λ1, …, λp) appelés coefficients telle que y = ∑j=1p λj.xj, autrement dit s'il peut s'écrire comme une combinaison linéaire sur les vecteurs (x1, …, xp).
Le vecteur nul est engendré par n'importe quelle famille de vecteurs colonnes en choisissant des coefficients tous nuls.
Une famille de vecteurs est dite génératrice si elle peut engendrer tous les autres vecteurs colonnes.
Elle est dite liée si elle peut engendrer le vecteur nul avec au moins un coefficient non nul. Dans ce cas, on obtient une relation linéaire entre les vecteurs de la famille. Sinon, on dit que les vecteurs sont linéairement indépendants ou encore qu'ils forment une famille libre.