Analyse spectrale

Vecteur propre et valeur propre

Pour une matrice

Définition

Soit A ∈ ℳ_n(R) une matrice carrée et λ ∈ R.

Un vecteur colonne X non nul est appelé vecteur propre pour la matrice A associé à la valeur propre λ si on a AX = λX.

L’ensemble des valeurs propres de A s’appelle le spectre de A et se note Sp(A).

Tout vecteur colonne non nul de taille n est vecteur propre pour la matrice identité de taille n pour la valeur propre 1.
Tout vecteur colonne non nul de taille n est vecteur propre pour la matrice nulle de taille n pour la valeur propre 0.
Si D = Diag(λ₁, … , λ_n) est une matrice diagonale alors tout vecteur colonne élémentaire E_i est un vecteur propre associé à la valeur propre λ_i.
La matrice [[0 ;1][−1 ;0]] n'admet pas de valeur propre réelle.

Propriété

Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle n'admet pas 0 comme valeur propre.

Démonstration

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son noyau est nul, c’est-à-dire s’il n’existe aucun vecteur colonne X non nul tel que AX = 0, ce qui revient au fait que 0 n’est pas valeur propre.

Propriété

Soit λ ∈ R. Une matrice carrée A de taille n admet la valeur propre λ si et seulement si la matrice A−λI_n n'est pas inversible.

Démonstration

Pour tout vecteur colonne X, on a les équivalences AX = λ·X ⇔ (A − λ·I)X = 0 ⇔ X ∈ Ker(A − λ·I_n), donc λ est valeur propre si et seulement si le noyau de (A − λ·I) est non nul, c’est-à-dire si A − λ·I n’est pas inversible.

La forme de certaines matrices donne aussi certains résultats.

Propriété

Les valeurs propres d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) sont les coefficients diagonaux de la matrice.

Démonstration

Soit T une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux s’écrivent a₁, … , a_n.
Pour tout λ ∈ R, la matrice T − λ·I_n est triangulaire et ses coefficients diagonaux s’écrivent a₁ − λ, … , a_n − λ, et la matrice T − λ·I_n n’est pas inversible si et seulement si l’un de ces coefficients est nul.

Propriété

Une matrice a les mêmes valeurs propres que sa transposée.

Démonstration

Soit A ∈ ℳ_n(R) et λ ∈ R. On a les équivalences suivantes : λ ∈ Sp(A) ⇔ A − λ·I_n non inversible ⇔ (A − λ·I_n)^T non inversible ⇔ A^T − λ·I_n non inversible ⇔ λ ∈ Sp(A^T) .

Propriété

Deux matrices semblables ont le même spectre.

Démonstration

Soient A et B deux matrices semblables. Soit λ ∈ R. On a les équivalences suivantes : λ ∈ Sp(A) ⇔ A − λ·I_n non inversible ⇔ P⁻¹(A − λ·I_n)P non inversible ⇔ P⁻¹AP − λ·I_n non inversible ⇔ λ ∈ Sp(B) .

Pour un endomorphisme

Définition

Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie et φ ∈ L(E) un endomorphisme de E.

Soit u ∈ E \ {0} un vecteur non nul et λ ∈ R.
On dit que u est un vecteur propre pour φ associé à la valeur propre λ si on a φ(u) = λ.u.

Le spectre de φ est l’ensemble de ses valeurs propres, noté Sp(φ).

Tout vecteur non nul de E est un vecteur propre pour l'application id_E.
Les vecteurs propres d’un endomorphisme φ pour la valeur propre 0 sont les éléments de Ker(φ) ∖ {0}.

Remarque

Un vecteur propre est toujours associé à une seule valeur propre pour un endomorphisme donné. En revanche, tout multiple d'un vecteur propre est aussi un vecteur propre associé à la même valeur propre, donc une valeur propre peut être associée à une infinité de vecteurs propres.

Propriété

Un endomorphisme est bijectif si et seulement s’il n’admet pas 0 comme valeur propre.

Démonstration

En dimension finie, un endomorphisme est bijectif si et seulement s’il est injectif, c’est-à-dire si son noyau est nul, autrement dit s’il n’a pas de vecteur propre associé à la valeur propre 0.

Propriété

Le spectre d’un endomorphisme φ est l’ensemble des réels λ tels que φ − λ·id n’est pas bijectif.

Démonstration

Pour tout λ ∈ R, pour tout vecteur u, on a l’équivalence φ(u) = λ·u ⇔ (φ − λ·id)(u) = 0 donc λ est une valeur propre de φ si et seulement si 0 est une valeur propre de (φ − λ·id).

Propriété

Tout endomorphisme bijectif a les mêmes vecteurs propres que l’endomorphisme réciproque avec les valeurs propres inverses.

Démonstration

Soit φ ∈ L(E) bijectif. Pour tout u ∈ E ∖ {0} et λ ∈ R^∗ on a l’équivalence φ(u) = λ·u ⇔ (1)/(λ)·u = φ⁻¹(u).

Famille de vecteurs propres

Propriété

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes pour une même matrice ou un même endomorphisme sont linéairement indépendants.

Démonstration

On raisonne par récurrence sur le nombre de vecteurs propres pour une matrice ou un endomorphisme A.

Un vecteur propre étant non nul, il constitue une famille libre.

Soit k ∈ N^∗ tel que la propriété soit vraie pour toute famille de k vecteurs propres.
Soit (u₁, … , u_k+1) une famille de vecteurs propres de A. On note (λ₁, … , λ_k+1) la famille des valeurs propres associées, supposées deux à deux distinctes.
Soit (a₁, … , a_k+1) ∈ R^k+1 tel que ∑_i=1^k+1 a_i u_i = 0. Alors on trouve 0 = A(∑_i=1^k+1 a_i u_i) = ∑_i=1^k+1 a_i A(u_i) = ∑_i=1^k+1 a_i λ_iu_i donc par combinaison des deux sommes on trouve 0 = ∑_i=1^k+1 a_i λ_iu_i − λ_k+1 ∑_i=1^k+1 a_i u_i = ∑_i=1^k+1 a_i (λ_i − λ_k+1)u_i = ∑_i=1^k a_i (λ_i − λ_k+1)u_i.
Or par hypothèse de récurrence, la famille (u₁, … , u_k) est libre donc pour tout i ≤ k on obtient a_i (λ_i − λ_k+1) = 0 avec λ_i ≠ λ_k+1 donc a_i = 0.
Finalement, la première relation se réduit à a_k+1u_k+1 = 0 donc a_k+1 = 0. La propriété est donc satisfaite au rang k+1.

Corolaire

Une matrice de taille n ou un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension n ne peut admettre que n valeurs propres distinctes au plus.

Espaces propres

Dans cette partie, on considère une matrice carrée ou un endomorphisme A.

Définition

Pour tout λ ∈ Sp(A), l'espace propre associé à la valeur propre λ pour A est le sous-espace vectoriel E_λ(A) = Ker(A − λId).

Propriété

L'ensemble des vecteurs non nuls de E_λ(A) est l'ensemble des vecteurs propres de A associés à la valeur propre λ.

Propriété

Les espaces propres d’une matrice et de sa transposée associés à la même valeur propre ont la même dimension.

Démonstration

Soit A ∈ ℳ_n(R) et λ ∈ Sp(A). On a les égalités dim(E_λ(A)) = dim(Ker(A − λ·I_n)) = n − rg(A − λ·I_n) = n − rg((A − λ·I_n)^T) = n − rg(A^T − λ·I_n) = dim(Ker(A^T − λ·I_n)) = dim(E_λ(A^T)).

Propriété

Les sous-espaces propres sont en somme directe.

Démonstration

Soient λ₁, … , λ_k des valeurs propres de A, on note E₁, … , E_k les sous-espaces propres associés.
Soit (x₁, … , x_k) ∈ E₁ × ⋯ × E_k et (y₁, … , y_k) ∈ E₁ × ⋯ × E_k tels que ∑_i=1^k x_i = ∑_i=1^k y_i.
On trouve alors ∑_i=1^k (x_i − y_i) = 0 avec pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, x_i − y_i ∈ E_i.
Si certains vecteurs de la forme (x_i − y_i) sont non nuls, la relation ∑_i=1^k (x_i − y_i) = 0 implique qu'ils forment une famille liée, ce qui contredit l'indépendance linéaire.

Propriété

Les espaces propres associés à la même valeur propre pour deux matrices semblables ont la même dimension.

Démonstration

Soient A et B deux matrices semblables. Soit λ ∈ Sp(A).

On a les égalités dim(E_λ(A)) = dim(Ker(A − λ·I_n)) = n − rg(A − λ·I_n) = n − rg(P⁻¹(A − λ·I_n)P) = n − rg(P⁻¹AP − λ·I_n) = dim(Ker(B − λ·I_n)) = dim(E_λ(B)).

Propriété

Soit D une matrice diagonale et soit λ ∈ Sp(D). La dimension de l'espace propre E_λ(D) est le nombre de coefficients diagonaux de valeur λ.

Polynôme annulateur

Soit A une matrice carrée ou un endomorphisme. Soit P : x ↦ ∑_k=0^d a_kx^k un polynôme non nul.
On dit que P est un polynôme annulateur pour A si on a ∑_k=0^d a_k A^k = 0.

Propriété

Toute valeur propre est racine des polynômes annulateurs.

Démonstration

Soit A une matrice carrée ou un endomorphisme et P : x ↦ ∑_k=0^d a_kx^k un polynôme annulateur de A. Soit λ ∈ Sp(A). On note u un vecteur propre associé.

On trouve 0 = ∑_k=0^d a_k A^k(u) = ∑_k=0^d a_k λ^k u = P(λ).u or u ≠ 0 donc P(λ) = 0.

En particulier, toute matrice carrée ou tout endomorphisme A admettant un polynôme annulateur avec un coefficient constant non nul est inversible et on peut expliciter cet inverse comme un polynôme en A.

Propriété

Les seules valeurs propres possibles d’une projection sont les réels 0 et 1.
Les seules valeurs propres possibles d’une symétrie sont les réels −1 et 1.