Vecteurs
Soit
E un
espace vectoriel
et
(e1, … , en) une
base de
E.
Pour tout vecteur x ∈ E,
s'écrivant x = ∑i=1n λi ei,
on dit que x est représenté par la matrice colonne [[λ1][⋮][λn]]
dans la base (e1, … , en).
Le nombre complexe eiπ/3
est représenté par la colonne [[1/2][√(3)/2]] dans la base (1, i) de C.
L’application de représentation dans la base ℬ
définit un isomorphisme entre E
et ℳn,1(R).
L’application de représentation est bijective par
caractérisation des bases, et pour tout
λ ∈ R, pour tout
(x, y) ∈ E2,
en notant
x = ∑i=1n xi·ei
et
y = ∑i=1n yi·ei,
on trouve
λ·x + y
= ∑i=1n (λxi + yi)·ei,
donc l’application de représentation est linéaire.
Si (x1, … , xp) est une famille de vecteurs de E,
respectivement représentés par les matrices colonnes (X1, … , Xp)
la matrice représentative de cette famille est obtenue en accolant ces matrices colonnes dans l'ordre.
Les quatre fonctions
polynômes définies par
f(x) = x2 + 1,
g(x) = 2x2 − x + 3,
h(x) = 9
et
k(x) = 5x − 1
sont respectivement représentées par les vecteurs colonnes
[[1][0][1]],
[[3][−1][2]],
[[9][0][0]]
et
[[−1][5][0]]
dans la
base canonique de R2[x],
donc la matrice représentative de la famille
(f, g, h, k) est la matrice
[[1 ;3 ;9 ;−1][0 ;−1 ;0 ;5][1 ;2 ;0 ;0]].
Le
rang d’une famille de vecteurs est égal au
rang
de la matrice représentative.
Soit
(x1, … , xn) une famille de vecteurs représentée par une matrice
(ai,j) dans une base
ℬ.
On a rg(x1, … , xn) = dim(Vect(x1, … , xn)) or l’application de représentation est un isomorphisme, donc la dimension de Vect(x1, … , xn
est la même que celle de l’espace vectoriel engendré par les colonnes de coordonnées, qui est égale au rang de la matrice représentative.
Application linéaire
Soient
ℬ = (e1, … , em)
une base de
E
et
ℬ′ = (e′1, … , e′n)
une base de
F.
La
matrice représentative d’une
application linéaire φ ∈ L(E, F)
entre les bases
ℬ
et
ℬ′
est la matrice obtenue en juxtaposant les vecteurs colonnes représentant les vecteurs
φ(e1), … , φ(em)
dans la base
(e′1, … , e′n).
Autrement dit, il s'agit de la matrice
A = (ai, j) ∈ ℳn, m(R),
notée
Mℬ,ℬ′(φ),
telle que pour tout
j ∈ ⟦1 ; m⟧,
φ(ej)
= ∑i=1n ai, j.e′i.
- La dérivation sur l’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 est représentée par la matrice suivante entre les bases canoniques :
[[0 ;1 ;0 ;0][0 ;0 ;2 ;0][0 ;0 ;0 ;3][0 ;0 ;0 ;0]].
- Si A = [[1 ;2][3 ;4]],
l’application linéaire P ↦ P(A) de R2[x] vers ℳ2(R)
est représentée par la matrice suivante entre les bases canoniques :
[[1 ;1 ;7][0 ;2 ;6][0 ;3 ;15][1 ;4 ;22]].
Les coefficients de la matrice s’obtiennent à partir de la matrice associée comme pour représenter cette application entre les bases canoniques.
Le
rang d’une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie est égal au rang de sa matrice représentative.
Le rang de l’application linéaire est égal à la dimension de l’image, qui est l’espace vectoriel engendré par les images des vecteurs de base, représentés par les vecteurs colonnes de la matrice.
Si l’application φ est un endomorphisme et si on utilise la même base ℬ au départ et à l’arrivée,
on note Mℬ(φ) la matrice représentative.
Soit ℬ une base d’un espace vectoriel E. L’application identité sur E est représentée par la matrice identité
Mℬ(idE) = I.
Opérations matricielles
Si E et F
deux espaces vectoriels munis des bases respectives
ℬ = (e1, … , em) et
ℬ′ = (e′1, … , e′n), l'application
R : φ ↦ Mℬ,ℬ′(φ), qui à toute application linéaire associe sa matrice représentative, définit un isomorphisme entre L(E, F)
et ℳn,m(R).
On montre d’abord que l’application
R
est linéaire, puis qu’elle est bijective.
Soit λ ∈ R
et (φ, ψ) ∈ L(E, F)2.
Si Mℬ,ℬ′(φ)
= (ai,j)
et Mℬ,ℬ′(ψ)
= (bi,j)
alors pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧,
(λ·φ + ψ)(ej)
= λ·(∑i=1n
ai,j·e′i)
+ ∑i=1n
bi,j·e′i
= ∑i=1n
(λai,j + bi,j)·e′i,
donc l’application Rest linéaire.
Pour tout (ai,j) ∈ ℳm,n(R), il existe une unique application φ qui vérifie pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧,
φ(ej)
= ∑i=1n
ai,j·e′i.
Donc l’application R est bijective.
Si x est un vecteur de E
représenté par la matrice colonne X ∈ Rm dans la base ℬ
et si φ est une application linéaire
de E vers F
représentée par la matrice A
entre les bases ℬ
et ℬ′,
alors le vecteur φ(x)
est représenté par la matrice colonne
AX
dans la base ℬ′.
On note X = [[x1][⋮][xm]]
et A = (ai,j),
d’où x = ∑j=1m xj·ej
et φ(x)
= ∑j=1m xj·φ(ej)
= ∑j=1m
∑i=1n
xjai,j·e′i,
représenté dans la base (e′i)
par le vecteur colonne de coordonnées
(∑j=1m
xjai,j), c’est-à-dire AX.
Soit φ une application linéaire
de E vers F
représentée par la matrice M
entre les bases ℬ
et ℬ′.
Soit ψ une application linéaire
de F vers G
représentée par la matrice N
entre les bases ℬ′
et ℬ″.
La composée ψ ∘ φ
est représentée par le produit N × M
entre les bases ℬ
et ℬ″.
On note
ℬ = (e1, … , em),
ℬ′ = (e′1, … , e′n)
et
ℬ″ = (e″1, … , e″p)
puis
Mℬ,ℬ′(φ)
= (ai,j)
et
Mℬ′,ℬ″(ψ)
= (bi,j).
Pour tout j ∈ ⟦1 ; m⟧,
on trouve
ψ(φ(ej))
= ψ(∑k=1n ak,j·e′k)
= ∑k=1n ak,j∑i=1p bi,k·e″i
donc Mℬ,ℬ″(ψ ∘ φ) = (∑k=1n
ak,jbi,k), ce qui est la formule du produit matriciel.
Attention, le produit de deux matrices représentatives ne suit pas la relation de Chasles à laquelle on s'attendrait :
Mℬ′,ℬ″(ψ)
× Mℬ,ℬ′(φ)
= Mℬ,ℬ″(ψφ).
Soient E et F
deux espaces vectoriels munis de bases respectives ℬ et ℬ′.
Soit φ ∈ L(E, F).
L’application φ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice représentative Mℬ,ℬ′(φ) est inversible. Dans ce cas, on trouve
Mℬ′,ℬ(φ−1)
= Mℬ,ℬ′(φ)−1
On procède par double implication, sachant que les deux conditions ne peuvent survenir que si les espaces
E et
F sont de même dimension
n.
Si la matrice est inversible alors son rang vaut n,
donc l’application aussi et elle est surjective donc bijective.
Réciproquement, si l’application est un isomorphisme, alors le produit de la matrice représentative avec celle de l’inverse donne l’identité, ce qui assure à la fois l’inversibilité de la matrice représentative et la formule de l’inverse.
Changement de base
Soit E un espace vectoriel muni de deux bases ℬ et ℬ′.
La matrice de changement de base ou matrice de passage
de la base ℬ à la base ℬ′
est la matrice représentative de la base ℬ′
dans la base ℬ.
Autrement dit, il s'agit de la matrice Mℬ′,ℬ(IdE), parfois notée
Pℬ′ℬ.
La base ℬ est alors appelée ancienne base, et ℬ′ est la nouvelle base.
Cette matrice est facile à calculer lorsque l'on connait les coordonnées de la nouvelle base ℬ′ dans l'ancienne base ℬ.
La matrice représentative de l’identité est la matrice identité si et seulement si les deux bases sont identiques.
Toute matrice de passage Pℬ′ℬ
est inversible d’inverse Pℬℬ′.
On reprend la propriété de la matrice représentative d’un isomorphisme.
Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ muni d’une base ℬ. Toute matrice inversible P ∈ 𝒢ℒn(R)
est la matrice de passage entre la base ℬ et la base ℬ′ dont les vecteurs sont représentés par les colonnes de P dans la base ℬ.
On reprend la définition de la matrice représentative.
Si un vecteur est représenté par X dans la base ℬ et par X′
dans la base ℬ′ alors on a
X = Pℬ′ℬ X′.
On reprend la matrice représentative de l’image d’un vecteur par une application linéaire.
La matrice de passage permet donc de calculer les coordonnées dans l'ancienne base de vecteurs dont on connait les coordonnées dans la nouvelle base.
Soit E un espace vectoriel muni d'une base ℬ.
Soit φ ∈ L(E) un endomorphisme
représenté par la matrice A
dans la base ℬ.
Soit ℬ′ une autre base de E.
On note P la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′.
Alors la matrice représentative de φ
dans la base ℬ′ s'écrit
P−1AP.
On reprend la matrice représentative de la composée d’applications linéaires.
Matrices semblables
Soient A et B deux matrices carrées de même taille n. On dit que A est semblable à B s’il existe une matrice inversible P ∈ 𝒢ℒn(R) telle que
B = P−1AP.
La relation de
similitude ainsi définie est une relation d’équivalence, c’est-à-dire que
- toute matrice carrée est semblable à elle-même,
- si A est semblable à B alors B est semblable à A,
- si A est semblable à B
et si B est semblable à C
alors A est semblable à C.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.
Soient A et B
deux matrices semblables dans ℳn(R).
Il existe une matrice P inversible telle que
B = P−1AP.
Les colonnes de P définissent une base ℬ′ de Rn.
L’application linéaire associée à A est représentée par la matrice B dans la base ℬ.
Réciproquement, deux matrices représentatives d’un même endomorphisme sont toujours semblables par propriété ci-dessus.
Deux matrices semblables ont la même
trace.
Deux matrices semblables sont
équivalentes. En particulier, elles ont le même rang.