Représentation matricielle

Vecteurs

Définition
Soit E un espace vectoriel et (e1, … , en) une base de E.

Pour tout vecteur xE, s'écrivant x = i=1n λi ei, on dit que x est représenté par la matrice colonne [[λ1][][λn]] dans la base (e1, … , en).

Exemple
Le nombre complexe eiπ/3 est représenté par la colonne [[1/2][(3)/2]] dans la base (1, i) de C.
Propriété
L’application de représentation dans la base définit un isomorphisme entre E et n,1(R).
Démonstration
L’application de représentation est bijective par caractérisation des bases, et pour tout λR, pour tout (x, y) ∈ E2, en notant x = i=1n xi·ei et y = i=1n yi·ei, on trouve λ·x + y = i=1n (λxi + yiei, donc l’application de représentation est linéaire.
Définition
Si (x1, … , xp) est une famille de vecteurs de E, respectivement représentés par les matrices colonnes (X1, … , Xp) la matrice représentative de cette famille est obtenue en accolant ces matrices colonnes dans l'ordre.
Exemple
Les quatre fonctions polynômes définies par f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x2x + 3, h(x) = 9 et k(x) = 5x − 1 sont respectivement représentées par les vecteurs colonnes [[1][0][1]], [[3][−1][2]], [[9][0][0]] et [[−1][5][0]] dans la base canonique de R2[x], donc la matrice représentative de la famille (f, g, h, k) est la matrice [[1 ;3 ;9 ;−1][0 ;−1 ;0 ;5][1 ;2 ;0 ;0]].
Propriété
Le rang d’une famille de vecteurs est égal au rang de la matrice représentative.
Démonstration
Soit (x1, … , xn) une famille de vecteurs représentée par une matrice (ai,j) dans une base .

On a rg(x1, … , xn) = dim(Vect(x1, … , xn)) or l’application de représentation est un isomorphisme, donc la dimension de Vect(x1, … , xn est la même que celle de l’espace vectoriel engendré par les colonnes de coordonnées, qui est égale au rang de la matrice représentative.

Application linéaire

Définition
Soient = (e1, … , em) une base de E et ℬ′ = (e′1, … , e′n) une base de F.
La matrice représentative d’une application linéaire φ ∈ L(E, F) entre les bases et ℬ′ est la matrice obtenue en juxtaposant les vecteurs colonnes représentant les vecteurs φ(e1), … , φ(em) dans la base (e′1, … , e′n). Autrement dit, il s'agit de la matrice A = (ai, j) ∈ ℳn, m(R), notée M,ℬ′(φ), telle que pour tout j ∈ ⟦1 ; m, φ(ej) = i=1n ai, j.e′i.
Propriété
Toute matrice représente son application linéaire associée entre les bases canoniques.
Démonstration
Les coefficients de la matrice s’obtiennent à partir de la matrice associée comme pour représenter cette application entre les bases canoniques.
Propriété
Le rang d’une application linéaire entre espaces vectoriels de dimension finie est égal au rang de sa matrice représentative.
Démonstration
Le rang de l’application linéaire est égal à la dimension de l’image, qui est l’espace vectoriel engendré par les images des vecteurs de base, représentés par les vecteurs colonnes de la matrice.

Si l’application φ est un endomorphisme et si on utilise la même base  au départ et à l’arrivée, on note M(φ) la matrice représentative.

Exemple
Soit une base d’un espace vectoriel E. L’application identité sur E est représentée par la matrice identité M(idE) = I.

Opérations matricielles

Propriété
Si E et F deux espaces vectoriels munis des bases respectives = (e1, … , em) et ℬ′ = (e′1, … , e′n), l'application R : φ ↦ M,ℬ′(φ), qui à toute application linéaire associe sa matrice représentative, définit un isomorphisme entre L(E, F) et n,m(R).
Démonstration
On montre d’abord que l’application R est linéaire, puis qu’elle est bijective.

Soit λR et (φ, ψ) ∈ L(E, F)2. Si M,ℬ′(φ) = (ai,j) et M,ℬ′(ψ) = (bi,j) alors pour tout j ∈ ⟦1 ; m, (λ·φ + ψ)(ej) = λ·(i=1n ai,j·e′i) + i=1n bi,j·e′i = i=1n (λai,j + bi,je′i, donc l’application Rest linéaire.

Pour tout (ai,j) ∈ ℳm,n(R), il existe une unique application φ qui vérifie pour tout j ∈ ⟦1 ; m, φ(ej) = i=1n ai,j·e′i. Donc l’application R est bijective.

Propriété
Si x est un vecteur de E représenté par la matrice colonne XRm dans la base  et si φ est une application linéaire de E vers F représentée par la matrice A entre les bases  et ℬ′, alors le vecteur φ(x) est représenté par la matrice colonne AX dans la base ℬ′.
Démonstration
On note X = [[x1][][xm]] et A = (ai,j), d’où x = j=1m xj·ej et φ(x) = j=1m xj·φ(ej) = j=1m i=1n xjai,j·e′i, représenté dans la base (e′i) par le vecteur colonne de coordonnées (j=1m xjai,j), c’est-à-dire AX.
Propriété
Soit φ une application linéaire de E vers F représentée par la matrice M entre les bases  et ℬ′. Soit ψ une application linéaire de F vers G représentée par la matrice N entre les bases ℬ′ et ℬ″.
La composée ψφ est représentée par le produit N × M entre les bases  et ℬ″.
Démonstration
On note = (e1, … , em), ℬ′ = (e′1, … , e′n) et ℬ″ = (e″1, … , e″p) puis M,ℬ′(φ) = (ai,j) et Mℬ′,ℬ″(ψ) = (bi,j).

Pour tout j ∈ ⟦1 ; m, on trouve ψ(φ(ej)) = ψ(k=1n ak,j·e′k) = k=1n ak,ji=1p bi,k·e″i donc M,ℬ″(ψφ) = (k=1n ak,jbi,k), ce qui est la formule du produit matriciel.

Attention, le produit de deux matrices représentatives ne suit pas la relation de Chasles à laquelle on s'attendrait : Mℬ′,ℬ″(ψ) × M,ℬ′(φ) = M,ℬ″(ψφ).

Propriété
Soient E et F deux espaces vectoriels munis de bases respectives et ℬ′. Soit φ ∈ L(E, F).
L’application φ est un isomorphisme si et seulement si sa matrice représentative M,ℬ′(φ) est inversible. Dans ce cas, on trouve Mℬ′,(φ−1) = M,ℬ′(φ)−1
Démonstration
On procède par double implication, sachant que les deux conditions ne peuvent survenir que si les espaces E et F sont de même dimension n.

Si la matrice est inversible alors son rang vaut n, donc l’application aussi et elle est surjective donc bijective.

Réciproquement, si l’application est un isomorphisme, alors le produit de la matrice représentative avec celle de l’inverse donne l’identité, ce qui assure à la fois l’inversibilité de la matrice représentative et la formule de l’inverse.

Changement de base

Définition
Soit E un espace vectoriel muni de deux bases et ℬ′. La matrice de changement de base ou matrice de passage de la base à la base ℬ′ est la matrice représentative de la base ℬ′ dans la base . Autrement dit, il s'agit de la matrice Mℬ′,(IdE), parfois notée Pℬ′.
La base est alors appelée ancienne base, et ℬ′ est la nouvelle base.

Cette matrice est facile à calculer lorsque l'on connait les coordonnées de la nouvelle base ℬ′ dans l'ancienne base .

Remarque
La matrice représentative de l’identité est la matrice identité si et seulement si les deux bases sont identiques.
Propriété
Toute matrice de passage Pℬ′ est inversible d’inverse Pℬ′.
Démonstration
On reprend la propriété de la matrice représentative d’un isomorphisme.
Propriété
Soit E un espace vectoriel de dimension nN muni d’une base . Toute matrice inversible P ∈ 𝒢ℒn(R) est la matrice de passage entre la base et la base ℬ′ dont les vecteurs sont représentés par les colonnes de P dans la base .
Démonstration
On reprend la définition de la matrice représentative.
Propriété
Si un vecteur est représenté par X dans la base et par X′ dans la base ℬ′ alors on a X = Pℬ′ X′.
Démonstration
On reprend la matrice représentative de l’image d’un vecteur par une application linéaire.

La matrice de passage permet donc de calculer les coordonnées dans l'ancienne base de vecteurs dont on connait les coordonnées dans la nouvelle base.

Propriété
Soit E un espace vectoriel muni d'une base . Soit φ ∈ L(E) un endomorphisme représenté par la matrice A dans la base . Soit  ℬ′ une autre base de E.
On note P la matrice de passage de la base  à la base ℬ′. Alors la matrice représentative de φ dans la base ℬ′ s'écrit P−1AP.
Démonstration
On reprend la matrice représentative de la composée d’applications linéaires.

Matrices semblables

Définition
Soient A et B deux matrices carrées de même taille n. On dit que A est semblable à B s’il existe une matrice inversible P ∈ 𝒢ℒn(R) telle que B = P−1AP.
Propriété
La relation de similitude ainsi définie est une relation d’équivalence, c’est-à-dire que
Propriété
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.
Démonstration
Soient A et B deux matrices semblables dans n(R). Il existe une matrice P inversible telle que B = P−1AP. Les colonnes de P définissent une base ℬ′ de Rn. L’application linéaire associée à A est représentée par la matrice B dans la base .
Réciproquement, deux matrices représentatives d’un même endomorphisme sont toujours semblables par propriété ci-dessus.
Propriété
Deux matrices semblables ont la même trace.
Démonstration
On utilise la formule de la trace du produit.
Propriété
Deux matrices semblables sont équivalentes. En particulier, elles ont le même rang.