Exercices d’analyse spectrale

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Exercice
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes :
Exercice
En utilisant la méthode du pivot de Gauss, montrer que λ ∈ R est valeur propre de A = [[2 ;−5/4 ;1/4][1 ;0 ;0][0 ;1 ;0]] si et seulement si λ est racine du polynôme s’écrivant pour tout x ∈ R, P(x) = 4x3 − 8x2 + 5x − 1.
Ecricome 2007 question 1.1.2
Exercice
Montrer que la matrice M = [[1 ;2 ;3][2 ;3 ;1][3 ;1 ;2]] admet le vecteur [[1][1][1]] comme vecteur propre puis déterminer toutes ses valeurs propres.
Exercice
On pose C = [[1 ;1][1 ;2]].
  1. Montrer que le spectre de C peut s’écrire {λ, μ} avec 0 < λ < μ < 3.
  2. Pour chaque valeur propre de C3, déterminer un vecteur propre associé qui s’écrive sous la forme [[u][v]] avec u2 + v2 = 1.
ENS 2012
Exercice
On pose U = [[1 ;1 ;1][1 ;1 ;1][1 ;1 ;1]].
  1. Déterminer les valeurs propres et espaces propres de U.
  2. Pour tout (a, b) ∈ R2, exprimer la matrice A = [[a ;b ;b][b ;a ;b][b ;b ;a]] comme une combinaison linéaire de U et de la matrice identité, puis en déduire les valeurs propres et espaces propres de A.
Exercice
À quelle condition sur m ∈ R la matrice [[1 ;1][m ;1]] admet-elle deux valeurs propres distinctes ?
Exercice
Soit n ∈ N∗ et (a0, … , an−1) ∈ Rn. Quelles sont les valeurs propres de la matrice M triangulaire inférieure dont les coefficients s'écrivent ∀i ≥ j,   Mi,j = ai−j ?
ENS 2010 exercice II question 4
Exercice
Soit (a, b) ∈ R∗2. On note A = [[a ;0 ;0][0 ;−a ;0][0 ;0 ;−a]] et B = [[b ;0 ;0][0 ;0 ;b][0 ;b ;0]].
  1. Ces deux matrices commutent-elles ?
  2. Déterminer leurs valeurs propres et vecteurs propres.
  3. Déterminer une base de R3 composée de vecteurs propres communs aux deux matrices.
Exercice
Soit C ∈ ℳn(R). Soit λ une valeur propre de C et X un vecteur propre associé.
Soit (a0, … , an−1) ∈ Rn tel que a0In + a1C + ⋯ + an−1Cn−1 + Cn = 0.
Montrer que λ est une racine du polynôme P(x) = a0 + a1x + ⋯ + an−1xn−1 + xn.
ENS 2017 problème B question 5
Exercice : transvections
ENS 2004 problème 1 question 14
Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle et φ ∈ L(E) tel que tout vecteur non nul de E est vecteur propre. Montrer qu’il existe λ tel que φ = λ·idE.
Exercice
Soit M ∈ ℳ2(R) telle que M2 = −Id.
La matrice M admet-elle des valeurs propres ?
ENS 2017 planche 11 exercice 1
Exercice
Soit u un endomorphisme de Rn et F un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs propres de u.
Montrer que F est stable par u, c’est-à-dire que pour tout x ∈ F on a u(x) ∈ F.
ENS 2017 planche 14 exercice 2
Exercice
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des endomorphismes de ℳn(R) suivants :
Exercice
On pose A = [[2 ;0][0 ;3]].
Vérifier que l’application M ↦ AM définit un endomorphisme de ℳ2(R) et déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.
Exercice
ENS 2008 exercice I question 1
Soit E un espace vectoriel et u ∈ L(E) tel que u2 = −idE. Quelles sont les valeurs propres de u2 ? L’endomorphisme u admet-il des valeurs propres ?
Exercice
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des endomorphismes de Rn[x] définis par les expressions suivantes :
Exercice
Pour tout P ∈ R4[x] on définit la fonction φ(P) : x ↦ P(x + 1) + P(x − 1). Vérifier que φ est bien un endomorphisme de R4[x] et déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.
Exercice
ENS 2020 problème B question 7b
Soit r > 0 et s ∈ ]0, 1]. Montrer que la matrice M = (:(0 ;r ;r) (1 ;0 ;0) (0 ;s ;0) ] a exactement une valeur propre réelle strictement positive.

Problèmes

Problème
ENS 2013 exercice 1
On pose A = [[2 ;−1 ;1][1 ;0 ;−1][2 ;−4 ;−1]].
  1. Calculer A3 − A2 − 7A + 11 I3.
  2. Montrer que A est inversible et exprimer son inverse comme une combinaison linéaire avec A et A2.
  3. Montrer que les valeurs propres de A sont précisément les racines du polynôme d’expression P(x) = x3 − x2 − 7x + 11.
Problème
D’après ENS 2011 Problème partie B
Pour tout X = [[x1][⋮][xk]] ∈ Rk on note ‖X‖ = maxi |xi|.
Soit A = (ai,j) ∈ 𝓜k(R) à coefficients tous positifs et telle que pour tout i, ∑j=1n ai,j = 1.
Démontrer l’inégalité ‖AX‖ ≤ ‖X‖ pour tout X ∈ Rk et en déduire que toute valeur propre de λ ∈ Sp(A) vérifie |λ| ≤ 1.
Problème
ENS 2011 Problème partie C
Soit X ∈ Rk un vecteur colonne non nul. On pose EX = {M ∈ 𝓜k(R) : X est un vecteur propre de M}.
  1. Montrer que EX est un sous-espace vectoriel de 𝓜k(R)
  2. Montrer que l’application φ : A ↦ AX est linéaire de 𝓜k(R) vers Rk et préciser son rang.
  3. Démontrer l’égalité EX = Ker(φ) ⊕ Vect(Ik) et en déduire la dimension de EX.
Problème
ESSEC 2018 exercice
Soit E un espace vectoriel de dimension n ≥ 2. Soit v un endomorphisme diagonalisable sur E avec au plus deux valeurs propres. On s’intéresse à l’ensemble ℰ des endomorphismes u ∈ L(E) tels que u = v ∘ u + u ∘ v.
  1. Montrer que ℰ est un espace vectoriel.
  2. Déterminer ℰ lorsque v n’a qu’une seule valeur propre. On distinguera le cas où cette valeur propre vaut 1/2.

    Dans toute la suite du problème, on supposera que v a exactement deux valeurs propres notées λ et μ.

  3. Supposons μ ≠ 1 − λ. Montrer que tout vecteur propre de v est dans Ker(u). En déduire que ℰ = {0}.
  4. On suppose désormais que λ + μ = 1.
    1. Soit u ∈ ℰ. Montrer que u(Eλ(v)) ⊂ Eμ(v) et u(Eμ(v)) ⊂ Eλ(v).
    2. Réciproquement, montrer que tout endomorphisme u ∈ ℰ vérifiant u(Eλ(v)) ⊂ Eμ(v) et u(Eμ(v)) ⊂ Eλ(v) appartient à ℰ.
    3. Déterminer les endomorphismes u ∈ ℰ tels que u ∘ u = u.
    4. Montrer que ℰ contient des endomorphismes u tels que u ∘ u = idE si et seulement si dim(Eλ(v)) = dim(Eμ(v)).
    5. Déterminer la dimension de ℰ en fonction de celles des sous-espaces propres de v.
Problème
HEC 2012 exercice 2
Dans tout l’exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 et A et B sont deux matrices de ℳn(R) diagonalisables.

Pour tout M ∈ ℳn(R) on note tM sa transposée.

On définit trois endomorphismes de ℳn(R), en posant pour tout M ∈ ℳn(R) par fA(M) = AM et gB(M) = MB, puis hA,B = fA − gB.

    1. Soit λ une valeur propre de A et X ∈ Rn un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
      Montrer que X XT est un vecteur propre de fA et donner la valeur propre associée.
    2. Soit θ une valeur propre de fA. Montrer que la matrice A − λIn n’est pas inversible.
    3. Déduire de ce qui précède que Sp(A) = Sp(fA).
    4. Montrer que Sp(BT) = Sp(B). En déduire que Sp(B) = Sp(gB).
  2. Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé, μ une valeur propre de BT et Y un vecteur propre associé. Montrer que X YT est un vecteur propre de hA,B et donner la valeur propre associée.

Annales

ENS 2017 planche 16 exercice 2
Intersection des noyaux des commutateurs des puissances de deux matrices et vecteur propre commun.