Fonctions de deux variables

Vocabulaire général

Définition

Une fonction réelle de deux variables réelles est une application d'une partie de R² vers R.

Les projections (x₁, x₂) ↦ x₁ et (x₁, x₂) ↦ x₂ sont définies sur R².
Les fonctions linéaires sont des combinaisons linéaires des projections (x₁, x₂) ↦ ax₁ + bx₂.
Les monômes de 2 variables sont les produits de projections et d'une constante, s'écrivant (x₁, x₂) ↦ λx₁^jx₂^k, avec λ ∈ R et (j, k) ∈ N².
Le degré d'un tel monôme est la somme des exposants j + k.
Les fonctions polynômes de deux variables sont les combinaisons linéaires de monômes. En particulier, les fonctions quadratiques sont les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

Définition

Soit F une fonction de deux variables. Le graphe de la fonction est l'ensemble {(x, y, z) ∈ R³ : z = F(x, y)}.
Dans ce cadre, le plan des variables est le plan d'équation z = 0 et l'axe vertical est la droite vectorielle engendrée par le 3^e vecteur de la base canonique (0 ; 0 ; 1).

Les fonctions linéaires sont les fonctions de deux variables dont le graphe est un plan vectoriel.
Le graphe de la fonction donnant la norme d'un vecteur ‖x‖ = √(x₁² + x₂²) est un cône (infini) autour de l'axe vertical avec la pointe à l'origine.
L'hémisphère supérieur de la sphère de rayon r centrée à l'origine est le graphe de la fonction x ↦ √(r² − ‖x‖²).
La fonction gaussienne standard à deux variables x ↦ exp(−‖‖²/2) a pour graphe une surface en cloche.

Définition

Soit F une fonction de deux variables et k ∈ R. La courbe de niveau k (ou ligne de niveau) est l'ensemble des vecteurs (x₁, x₂) tels que F(x₁, x₂) = k.

Les lignes de niveau de la fonction linéaire x ↦ ax₁ + bx₂ (non nulle) sont les droites orthogonales au vecteur (a, b).
Les courbes de niveau de la norme ou de la fonction gaussienne standard sont des cercles centrés à l'origine.

Remarque

La courbe de niveau k est l’image par la projection orthogonales sur le plan des variables, de l'intersection du graphe avec le plan horizontal.

Dérivées partielles

Définition

Soit F une fonction de deux variables. Les dérivées partielles de F sont les fonctions de deux variables ∂₁F et ∂₂F définies par ∂₁F(x₁, x₂) = lim_h→0 (F(x₁ + h, x₂) − F(x₁, x₂))/(h) et ∂₂F(x₁, x₂) = lim_h→0 (F(x₁, x₂ + h) − F(x₁, x₂))/(h).

On utilise aussi les notations ∂₁F(x₁, x₂) = (∂F(x₁, x₂))/(∂x₁) et ∂₂F(x₁, x₂) = (∂F(x₁, x₂))/(∂x₂).

Les dérivées partielles d'une fonction linéaire (x₁, x₂) ↦ ax₁ + bx₂ sont les fonctions constantes de valeurs respectives a et b.
La fonction norme admet des dérivées partielles sauf à l'origine.

Définition

Soit F une fonction de deux variables. On dit que F admet un minimum local (resp. un maximum local) en un point a ∈ R² s'il existe un réel r > 0 tel que pour tout x ∈ B(a, r) on ait F(x) ≥ F(a) (resp. F(x) ≤ F(a)).
On dit que F admet un extremum local en a si elle admet un maximum local ou un minimum local en a.
Un extremum local est dit strict si l'inégalité est stricte pour tout x ∈ B(a, r) ∖ {a}.

Propriété

Soit F une fonction de deux variables définie sur un voisinage de a ∈ R². Si F admet un extremum local et des dérivées partielles en a alors ces dérivées partielles s'annulent en a.

Démonstration

Avec les conditions de l'énoncé, si F admet un minimum local en a, alors le numérateur des taux d'accroissement est toujours positif, mais le dénominateur change de signe, donc la limite commune est à la fois positive et négative, donc elle est nulle.

Définition

On appelle point critique d'une fonction F tout point en lequel les dérivées partielles existent et s'annulent.

Tout extremum local intérieur est atteint en un point critique mais la réciproque est fausse : la fonction (x₁, x₂) ↦ x₁² − x₂² admet un unique point critique en (0 ; 0) où elle s'annule, mais elle admet des valeurs positives et négatives à l'intérieur de toute boule ouverte centrée en ce point.

Fonctions quadratiques

Soit q une fonction quadratique, avec (λ₁, λ₂) ∈ R² ∖ (0 ; 0) et (α₁, α₂) ∈ R². La fonction f : t ↦ q(λ₁t + α₁, λ₂t + α₂) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2. En outre, si (α₁, α₂) est un point critique pour q, alors il existe (A, C) ∈ R² tel que pour tout t ∈ R, f(t) = At² + C. On distingue alors 3 cas.

Si le coefficient A est strictement positif quel que soit (λ₁, λ₂), alors le point critique est l'unique minimum local (et global) de la fonction quadratique.
Si le coefficient A est toujours positif mais qu'il existe (λ₁, λ₂) pour lequel A = 0 d'où une fonction f constante, alors le point critique est dit dégénéré.
Si le coefficient A peut être strictement positif ou strictement négatif selon la valeur de (λ₁, λ₂), alors le point critique n'est pas un extremum local et est appelé point col ou point selle.

Les points critiques d'une fonction quadratique de la forme q(x₁, x₂) = ax₁² + bx₁x₂ + cx₂² + dx₁ + ex₂ + f sont les solutions du système linéaire {2ax₁ + bx₂ + c = 0 ;bx₁ + 2cx₂ + d = 0 qui est de Cramer si et seulement si 4ac ≠ b². Dans le cas contraire, la fonction quadratique est dite dégénérée et elle peut n'admettre aucun point critique (dans le cas d'une fonction linéaire non constante notamment) ou admettre une droite de points critiques, voire tout le plan si la fonction est constante.

Si (α₁,α₂) est un point critique pour q(x₁, x₂) = ax₁² + bx₁x₂ + cx₂² + dx₁ + ex₂ + f, alors en posant X₁ = x₁ − α₁ et X₂ = x₂ − α₂, on trouve q(x₁, x₂) = aX₁² + bX₁X₂ + cX₂² + q(α₁, α₂) et le point critique en (α₁,α₂) pour q est de même nature que le point critique en (0 ; 0) pour la fonction quadratique Q(X₁, X₂) = aX₁² + bX₁X₂ + cX₂².

Propriété

La fonction quadratique définie par q(x₁, x₂) = ax₁² + bx₁x₂ + cx₂² admet un extremum local (strict) en (0 ; 0) si et seulement si le discriminant Δ = b² − 4ac est (strictement) négatif.
Dans ce cas, les coefficients a et c sont nécessairement de même signe, et cet extremum est un minimum si et seulement si a et b sont positifs.

Démonstration

On distingue trois cas selon que les coefficients a et c s'annulent ou non.

Si a ≠ 0, on trouve la forme canonique q(x₁, x₂) = a(x₁² + (bx₁x₂)/(a) + (cx₂²)/(a)) = a((x₁ + (bx₂)/(2a))² + (4ac−b²)/(4a²)x₂²) d'où le fait que l'expression (x₁ + (bx₂)/(2a))² + (4ac−b²)/(4a²)x₂² soit positive losque le discriminant est négatif. La fonction q s'annule sur toute la droite d'équation x₁ + (bx₂)/(2a) = 0 si le discriminant est nul, mais ne s'annule que lorsque x₁ = x₂ = 0 si le discriminant est strictement négatif.

Si le discriminant est strictement positif, l'expression a des valeurs négatives sur la droite d'équation x₁ + (bx₂)/(2a) = 0, et des valeurs positives sur la droite d'équation x₂ = 0, donc il n'y a pas d'extremum local en (0 ; 0).

Si a = 0, mais c ≠ 0, on utilise la forme canonique de q avec factorisation par c et on obtient le même résultat.

Si a = c = 0, les fonctions t ↦ q(t, t) = bt² et t ↦ q(t, −t) = −bt² admettent des extrema locaux opposés en 0.

Un exemple de fonction quadratique est donné par la recherche de la droite de régression linéaire par la méthode des moindres carrés pour une série statistique à deux variables ((x₁, y₁), … , (x_n, y_n)) ∈ R²ⁿ dans laquelle les valeurs (x_i) ne sont pas toutes égales, autrement dit telles que V_x > 0. L'écart quadratique entre la droite d'équation y = ax + b et le nuage de points est défini par la somme f(a, b) = ∑_i=1ⁿ(y_i − (ax_i + b))².

Propriété

L'écart quadratique est une fonction quadratique admettant un minimum en son point critique défini par a = (cov_x,y)/(V_x) et b = ¯(y) − a¯(x).

Démonstration

Avec les notations précédentes, on trouve f(a, b) = ∑_i=1ⁿ (y_i² + a²x_i² + b² − 2ax_iy_i − 2by_i + 2abx_i) et ∂₁f(a, b) = −2∑_i=1ⁿx_i(y_i − ax_i − b) et ∂₂f(a, b) = −2∑_i=1ⁿ(y_i − ax_i − b).

L'annulation des dérivées partielles se ramène aux équations ∑_i=1ⁿx_iy_i = a∑_i=1ⁿx_i² + b∑_i=1ⁿx_i et ∑_i=1ⁿy_i = a∑_i=1ⁿx_i + nb.
La deuxième équation se réécrit b = ¯(y) − a¯(x) et la première donne alors (1)/(n)∑_i=1ⁿx_iy_i − (a)/(n)∑_i=1ⁿx_i² = b¯(x) = ¯(x)¯(y) − a¯(x)² d'où ¯(xy) − ¯(x)¯(y) = a(¯(x²) − ¯(x)²), ce qui donne l'égalité annoncée.

Le discriminant s'écrit Δ = 4n²¯(x)² − 4∑_i=1ⁿx_i² = −4 V_x < 0, donc l'écart quadratique admet bien un extremum local.

Dérivées partielles du second ordre

Définition

Soit F une fonction de deux variables admettant des dérivées partielles. Les dérivées d'ordre 2 sont les dérivées partielles des dérivées partielles. On note ∂_i,jF la dérivée partielle par rapport à la i-ème variable de la dérivée par rapport à la j-ième variable, si elles existent.

Exemple

Les dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction linéaires sont nulles, celles d'une fonction quadratique sont constantes.

Théorème de Schwarz: Si F admet des dérivées partielles d'ordre 2 qui sont toutes continues sur un ouvert U alors ∂_1,2F = ∂_2,1F.

Propriété

Soit α un point critique de F. Si le discriminant de la fonction quadratique q(x₁, x₂) = ∂_1,1F(α)x₁² + 2∂_1,2F(α)x₁x₂ + ∂_2,2F(α)x₂² est strictement négatif, alors la fonction F admet un extremum local en α de même nature que le point critique de q en (0 ; 0).