Exercice
Calculer les dérivées partielles des fonctions définies par les expressions suivantes :
F(a, x, b) = ax + b
F(x, y) = ex+y
F(x, y) = x/y
F(x, y) = x2 − y2
F(x, y) = xy
F(x, y) = xy/(x2 + y2)
Exercice
Déterminer la nature des points critiques pour les fonctions quadratiques de deux variables définies par les expressions suivantes :
3x2 − xy + 2y2
x2 + 2xy − 3y2
(x + 2y)2 − 5xy
(2x − y)2 − (3x + 2y)2
(2x + y)2 − (3x + 2y)2 + 5xy
ExerciceDéterminer la nature des points critiques des fonctions définies par les expressions suivantes :
F(x, y) = x3 + y3 − 3xy
F(x, y) = xy(x + y − 1)
F(x, y) = x2y2(1 + x + 2y)
F(x, y) = x(x + 1)2 − y2
F(x, y) = 2x3 − 6xy + 3y2
F(x, y) = ex−y(x2 − 2y2)
F(x, y) = x3y + x3 − x2y
F(x, y) = x2(1 + y)3 + y2
F(x, y) = xy/√(x2 + y2)
Exercice
Montrer que la fonction définie par F(x, y)
= xy/ex + ey
admet un unique point critique dans (R+∗)2
et qu'il se situe sur la première bissectrice, à l'aide du changement de variable s = x + y et d = x − y. Déterminer la nature de ce point critique.
Exercice
Déterminer les points critiques de la fonction F(x, y)
= y2 − x2y(1 + x2) + x6.
À l’aide d’une factorisation de F(x, y) comme expression du second degré en y, montrer que la fonction F n’admet pas d’extremum en (0 ; 0).
Déterminer la nature des autres points critiques.
Exercice
BCE ESSEC 2019 exercice question 1
Vérifier que la fonction f : (x, y)
↦ cos((x + y)/4)
a ses dérivées partielles majorées sur [0, 1]2.
Exercice
BCE ESSEC 2019 exercice question 6
Soit f ∈ 𝒞1([0, 1]2).
Pour tout (x, x′, y, y′) ∈ [0, 1]4,
calculer la dérivée de ψ : t ↦
f(tx′ + (1 − t)x,
ty′ + (1 − t)y).
En déduire qu’il existe un réel k
tel que pour tout (x, x′, y, y′) ∈ [0, 1]4
on ait |f(x′, y′) − f(x, y)| ≤ k max(|x′ − x|, |y′ − y|).
Problème
ENS 2019 problème A
On pose pour tout (u, v) ∈ R+∗ × R+∗,
d(u, v) = u ln(u/v) − u + v.
Calculer les dérivées partielles de d.
Dresser le tableau de variations de la fonction f : x ↦x ln(x) − x + 1 et tracer l’allure de sa courbe représentative.
Montrer que pour tout x ∈ ]0 ; +∞[,
x ln(x) ≥ x − 1
avec égalité si et seulement si x = 1.
En déduire que pour tout u, v > 0,
on a d(u, v) ≥ 0
avec égalité si et seulement si u = v.
Soit u, v deux réels strictement positifs. Montrer que
d(u, v) = maxx∈R{x ↦ xu − v(ex − 1)}.
À quelles conditions ce maximum est-il atteint en un réel strictement positif ?