Problèmes de probabilités

Problème : Division géométrique d’une exponentielle

Soit X une variable aléatoire géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[ et Y une variable exponentielle de paramètre λ > 0. On suppose que ces deux variables sont indépendantes et on note Z = Y/X.

  1. Déterminer pour tout entier k ≥ 1 et tout réel x > 0 la probabilité conditionnelle PX=k(Z ≥ x).
  2. En déduire la fonction de répartition de Z et montrer qu’elle admet une densité.
  3. Justifier que l’espérance de Z peut s’écrire ∫0+∞ pe−λx/(1 − (1 − p)e−λx), montrer que cette intégrale converge et calculer sa valeur.
  4. L’égalité E(Z) = E(Y)/E(X) est-elle vérifiée ?
  5. Les variables Y et Z sont-elles indépendantes ? Et les variables X et Z ?
  6. Déterminer la probabilité P(X ≤ Y).
Problème : Optimisation dans une file

Soit X1, … , Xn une famille de variables aléatoires indépendantes et toutes de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Ces valeurs peuvent représenter des nombres inscrits à l’intérieur d’enveloppes fermées, et on veut choisir une enveloppe avec le nombre le plus grand possible, mais à chaque fois qu’on en ouvre une, on ne peut plus reprendre une enveloppe déjà ouverte.

On pourra utiliser la formule de l’espérance pour une variable aléatoire positive E(Z) = ∫0+∞ P(Z ≥ x) dx.

  1. On se place d’abord dans le cas n = 2. On ouvre donc une première enveloppe et on découvre la valeur de X1. À quelle condition décidez-vous de rejeter cette enveloppe et de choisir la deuxième ? Quelle est alors la probabilité que vous regrettiez votre choix en ouvrant la deuxième enveloppe ?
  2. On décide de fixer un seuil s ∈ [0, 1]. Si X1 ≥ s on garde la première enveloppe, sinon on la jette et on prend la deuxième enveloppe. On note Y2 la valeur finale obtenue. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] on a P(Y2 ≥ x) = P(X1 ≥ s) × PX1 ≥ s(X1 ≥ x) + P(X1 < s) × PX1 < s(X2 ≥ x). En déduire la valeur de cette probabilité en fonction de s, puis déterminer la valeur de s qui maximise cette probabilité.
  3. On considère maintenant n enveloppes et pour tout k ∈ ⟦1, n − 1⟧, on note sk un seuil à partir duquel on jette une enveloppe s’il en reste k à ouvrir.

Annales

HEC 2019 exercice 2 partie 2
Première occurrence d’un résultat différent lors de tirages successifs avec remise
ENS 2017 exercice
Lancers indépendants dans des urnes équiprobables
ENS 2017 problème A
Série associée à une loi de probabilité discrète, suite récurrente de variables aléatoires
ENS 2015
Somme de variables à densité
ENS 2013 exercice 3
Suite d’estimateurs de l’espérance d’une loi
ENS 2012 exercice II
Loi de la partie fractionnaire d’une variable aléatoire et loi de Benford
ENS 2011 exercice II
Temps moyen de retour à l’équilibre lors de tirages successifs à pile ou face
ENS 2010 exercice III
Proportion de fraudeurs au fisc et optimisation de l’estimateur
ENS 2009 problème
Nombre d’exemplaires disponibles d’un livre
ENS 2008 exercice II
Matrice carrée de taille 2 avec coefficients indépendants suivant une même loi de Bernoulli
ENS 2007 exercice II
Convergence d’une suite de variables de Bernoulli
ENS 2006 problème I
Convergence d’un estimateur dans une chaine de Markov à deux états
ENS 2005 problème II
Fonction de queue, variable aléatoire à densité sans mémoire, processus de Poisson
ENS 2004 problème 2
Théorème central de la limite pour une somme de variables de Bernoulli indépendantes
ENS 2003 problème
Somme de variables indépendantes et de même loi symétrique dans Z
HEC 2017 exercice 1
Produit de variables de Bernoulli indépendantes, produit d’une variable discrète et d’une variable exponentielle indépendante
HEC 2016 exercice 3
Loi binomiale négative (nombre de boules vertes tirées avec remise avant obtention d’une boule rouge)
HEC 2016 exercice 4
Variable admettant une densité de probabilité affine et estimation
HEC 2015 problème 2
Fonction génératrice des moments et illustration par le théorème central de la limite
HEC 2014 exercice 2
Variable aléatoire associée à une variable à densité par une intégrale
HEC 2014 exercice 3
Suite de variables uniformes discrètes sur un intervalle dépendant chacune de la variable précédente
HEC 2013 exercice 1
Minimum de variables indépendantes et de même loi uniforme, processus markovien dans N (nombre de tours en tête dans une course automobile)
HEC 2012 exercice 3
Somme d’un nombre aléatoire de variable aléatoires indépendantes et de même loi géométrique
HEC 2010 problème 2
Évolution d’une urne contenant de 1 à 4 boules selon un processus markovien
HEC 2009 problème 2
Taux de panne associé à une variable discrète ou à densité
HEC 2007 problème 1
Comparaison de variables à densité
HEC 2006 problème 2
Espérance de la somme de variables indépendantes et de même loi exponentielle
HEC 2005 exercice 3
Nombre de lancers nécessaires pour obtenir deux fois « pile » d’affilée, fonction génératrice associée, probabilité de l’obtenir au bout d’un nombre pair de lancers
ESSEC 2016 problème 2 partie I
Convergence de l’espérance d’une suite de variables aléatoires
ESSEC 2014 problème 2
Caractérisation de la loi de Poisson par l’indépendance des fonctions de compte sur deux ensembles complémentaires
ESSEC 2013 problème 2
Lois infiniment divisibles et lois stables
ESSEC 2009 problème 2
Marche aléatoire dans Z (déplacement d’une puce) et nombre de retours à l’origine
ESSEC 2008 problème
PageRank de Google avec matrices stochastiques
ESSEC 2005 problème
Convergence presque sûre de la moyenne de variables de Bernoulli indépendantes et de même loi vers son espérance
ENSAI 2010 exercice 3
Valeur absolue d’une variable normale centrée réduite
ENSAI 2009 exercice 2
Valeur absolue d’une variable d’espérance nulle
ENSAI 2007 problème 2
Transformée de Laplace d’une variable aléatoire
ENSAI 2004 exercice 2
Loi de l’exponentielle d’une variable normale
ENSAI 2003 exercice 3
Somme de variables de Poisson indépendantes
Ecricome 2007, 2e problème
Population de bactéries avec fonction génératrice des probabilités
Ecricome 2000, exercice 2
Pièces défectueuses sur un atelier de production avec 3 machines
Ecricome 1999, second problème
Retards de dépannage