ExerciceSoit b > 0. On considère un échantillon (X1, … , Xn)
de variables uniformes sur l’intervalle [0 ; b].
Soit α > 0.
Définir un intervalle de fluctuation pour la moyenne empirique ¯(X) au niveau 1 − α.
En déduire un intervalle de confiance pour b
au niveau 1 − α en fonction
de ¯(X) et n.
Définir un intervalle de fluctuation pour M
= max(X1, … , Xn)
au niveau 1 − α, en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou en cherchant directement un intervalle de la forme [c, b].
En déduire un intervalle de confiance pour b
au niveau 1 − α en fonction
de M et n.
Comparer les précisions des intervalles de confiance obtenus.
ExerciceSoit λ > 0. On considère un échantillon (X1, … , Xn)
de variables exponentielles de paramètre λ.
Soit α > 0.
Définir un intervalle de fluctuation pour la moyenne empirique ¯(X) au niveau 1 − α.
En déduire un intervalle de confiance pour b
au niveau 1 − α en fonction
de ¯(X) et n.
Problème
transformée de Laplace
Soit Z une variable aléatoire réelle. Pour tout réel x tel que exZ admette une espérance, on définit
ΦZ(x) = E(exZ).
Soit u ∈ R. Montrer que pour tout x > 0 on a
P(Z ≥ u) ≤ exp(−xu) ΦZ(x).
Soit (Z1, … , Zn) une famille de variables aléatoires indépendantes de même loi que Z. On pose ‾Zn = (Z1 + ⋯ + Zn)/n.
Exprimer Φn‾Zn(x) en fonction de ΦZ, n et n.
En déduire que pour tout réel u
et tout x > 0,
P(‾Zn > u) ≤ exp(−n(xu − ln(ΦZ(x))).
Annales
HEC 2019 exercice 4 question 4
Intervalle de confiance pour l’espérance d’une loi log-normale