Mémo dénombrement, probabilités et statistique
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Dénombrement
Cardinal d’un intervalle d’entiers
∀ (
a
,
b
) ∈
N
2
:
a
≤
b
, card(⟦
a
,
b
⟧) =
b
−
a
+ 1
;
card(∅) = 0
Cardinal de la réunion
Soient
A
et
B
deux ensembles finis.
card(
A
∪
B
) = card(
A
) + card(
B
) − card(
A
∩
B
)
Cardinal du complémentaire
Soit
E
un ensemble fini.
∀
A
∈ 𝒫(
E
)
,
card(
E
∖
A
) = card(
E
) − card(
A
)
Formule du crible de Poincaré
∀ (
A
1
, … ,
A
n
) ∈ 𝒫(
E
)
n
,
card(
A
1
∪⋯∪
A
n
) =
∑
S
⊂⟦1,
n
⟧
S
≠∅
(−1)
card(
S
)−1
card
(
⋂
i
∈
S
A
i
)
Cardinal du produit cartésien
Soient
E
et
F
deux ensembles finis.
card(
E
×
F
) = card(
E
) × card(
F
)
Cardinal de l’ensemble des applications
Soient
E
et
F
deux ensembles finis.
card(ℱ(
E
,
F
)) = card(
F
)
card(
E
)
Cardinal de l’ensemble des parties
Soit
E
un ensemble fini.
card(𝒫(
E
)) = 2
card(
E
)
Nombre de possibilités de choix
Si on choisit
p
éléments parmi
n
,
avec tous les ordres possibles et des répétitions éventuelles, il y a
n
p
listes possibles
avec tous les ordres possibles mais sans répétition, il y a
A
n
p
=
(
n
!
)
/
(
(
n
−
p
)!
)
arrangements possibles
sans différence d’ordre et sans répétition, il y a
(
p
parmi
n
)
combinaisons possibles
sans différence d’ordre et avec répétitions éventuelles, il y a
Γ
n
p
=
(
p
parmi
n
+
p
−1
)
combinaisons avec répétitions possibles
Probabilités
Probabilités du vide et de l’univers
P
(∅) = 0
;
P
(Ω) = 1
Monotonie
Soient
A
et
B
deux évènements.
A
⊂
B
⇒
P
(
A
) ≤
P
(
B
)
Probabilité de la réunion
P
(
A
∪
B
) =
P
(
A
) +
P
(
B
) −
P
(
A
∩
B
)
Probabilité du complémentaire
P
(
¯(
A
)
) = 1 −
P
(
A
)
Probabilité d’une réunion disjointe
Soient
(
A
i
)
une famille d’évènements deux à deux disjoints.
P
(
⋃
i
A
i
)
=
∑
i
P
(
A
i
)
Probabilité conditionnelle
Soient
A
et
B
deux évènements tels que
P
(
B
) ≠ 0
.
P
(
A
|
B
) =
P
B
(
A
) =
(
P
(
A
∩
B
)
)
/
(
P
(
B
)
)
Formule des probabilités composées
Soient
A
1
, … ,
A
n
des évènements tels que
P
(
A
1
∩ ⋯ ∩
A
n
−1
) ≠ 0
.
P
(
A
1
∩ ⋯ ∩
A
n
)
=
P
(
A
1
) ×
P
(
A
2
|
A
1
) × ⋯ ×
P
(
A
n
|
A
1
∩ ⋯ ∩
A
n
−1
)
Formule de Bayes
Soient
A
et
B
deux évènements de probabilité non nulle.
P
(
A
|
B
) =
(
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
)
/
(
P
(
B
)
)
Formule des probabilités totales
Soient
(
B
i
)
un système complet d’évènements tous de probabilité non nulle. Soit
A
un évènement.
P
(
A
) =
∑
i
P
(
B
i
) ×
P
(
A
|
B
i
)
Indépendance de deux évènements
Soit
A
et
B
deux évènements.
A
et
B
indépendants
⇔
P
(
A
∩
B
) =
P
(
A
) ×
P
(
B
)
Statistique descriptive
Moyenne arithmétique
∀
x
= (
x
1
, … ,
x
n
) ∈
R
n
,
¯(
x
)
=
(
1
)
/
(
n
)
∑
i
=1
n
x
i
Variance
∀
x
= (
x
1
, … ,
x
n
) ∈
R
n
,
V
x
=
(
1
)
/
(
n
)
∑
i
=1
n
x
i
2
−
¯(
x
)
2
Expression de la covariance statistique
∀ ((
x
1
,
y
1
), … , (
x
n
,
y
n
)) ∈ (
R
2
)
n
,
cov
x
,
y
=
(
1
)
/
(
n
)
∑
i
=1
n
x
i
y
i
−
¯(
x
)
¯(
y
)
Coefficient multiplicateur de la régression linéaire
∀ ((
x
1
,
y
1
), … , (
x
n
,
y
n
)) ∈ (
R
2
)
n
,
a
=
(
cov
x
,
y
)
/
(
V
x
)