Problèmes d’algèbre

Problèmes

Problème : Transformation de polynôme
ENS 2019 planche 5 exercice 2
On fixe un entier naturel n ≥ 1 et une fonction polynomiale A de degré au plus n. Pour tout P ∈ Rn[x] on définit ΦP(x) = A(x) ∫01 P(t) dt − P(x) ∫01 A(t) dt. On note α = ∫01 A(t) dt.
  1. Vérifier que l’application Φ : P ↦ ΦP définit bien un endomorphisme de Rn[x].
  2. Soit λ une valeur propre de Φ. Montrer que λ ∈ {0, −α}.
  3. Montrer que Im(Φ + αId) ⊂ Ker(Φ).
  4. En déduire que pour α ≠ 0, on a Ker((Φ + αId)) ⊕ Ker(Φ) = Rn[x].
  5. À quelle condition l’endomorphisme Φ est-il diagonalisable ?
Problème : Inertie
ENS 2019 planche 4 exercice 2
Pour tout ensemble ℰ = {x1, … , xn} de n vecteurs distincts dans Rd, on définit l’inertie de ℰ comme la moyenne des distances au carrés des vecteurs de ℰ à leur barycentre : ℐ(ℰ = 1/n ∑i=1n ∥xi − ‾x(ℰ)∥2, où ‾x = 1/n ∑i=1n xi. Dans la suite de l’exercice, on fixe un ensemble ℰ de n vecteurs vérifiant 1/n ∑i=1n xi = 0. Soit u un vecteur de Rd tel que ∥u∥ – 1. On note pu : Rd → Rd la projection orthogonale sur la droite vectorielle engendrée par u.
  1. Montrer que pu(x) = 〈x, u〉u.
  2. Calculer l’inertie de l’ensemble ℱu = {pu(x1), … , pu(xn)} obtenu par projection de l’ensemble ℰ sur Vect(u).
    Montrer qu’il existe un endomorphisme f de Rd que l’on précisera tel que ℐ(ℱu) = 〈u, f(u)〉 quel que soit le choix de u.
  3. On admet que f admet une base orthonormée de vecteurs propres. Montrer que maxu∈Rd, ∥u∥=1 ℐ(ℱu) = λmax où λmax est la plus grande des valeurs propres de f. Pour quel vecteur u ce maximum est-il atteint ?
(1)Montrer quepu(x) =〈x,u〉u.(2)Calculer l’inertie de l’ensembleFu={pu(x1),...,pu(xn)}obtenu par projection des vecteurs de l’en-semble ℰ sur Vect(u). Montrer qu’il existe un endomorphismefdeRdque l’on précisera tel queI(Fu) =〈u,f(u)〉.(3)On admet que l’endomorphismefadmet une base orthonormée de vecteurs propres. Montrer quemaxu∈Rd,‖u‖=1I(Fu) =λmaxoùλmaxest la plus grande valeur propre def. Pour quel vecteuruce maximum est-il atteint ?
Problème

On pose M = [ [ 1 ; −1 ; 5] [ 2 ; −1 ; −4] [ 3 ; 1 ; 1] ] et on note u, v, w ses trois vecteurs colonnes dans R3.

  1. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice de R3 ? Est-ce une base ?
  2. Déterminer une décomposition du vecteur x = [ [ 1] [ 1] [ 1] ] sur cette famille.
  3. Calculer D = MT × M, où MT est la transposée de M.
  4. Les matrices M et MT commutent-elles ?
  5. Déterminer une matrice D′ = [ [ a ; 0 ; 0] [ 0 ; b ; 0] [ 0 ; 0 ; c] ] telle que D × D′ soit la matrice indentité I3.
  6. Les matrices D et D′ commutent-elles ?
Problème
ENS 2019 problème B troisième partie

Soit A ∈ ℳn(R) une matrice antisymétrique, c’est-à-dire telle que AT = −A. On note u l’endomorphisme de Rn représenté par A dans la base canonique.

  1. Montrer que pour tout x ∈ Rn on a 〈x|u(x)〉 = 0
  2. En déduire que u ne peut admettre de valeur propre réelle non nulle.
  3. Montrer que pour tout x ∈ Rn on a 〈x|u(x)〉 = − ∥u2(x)∥2.
  4. Montrer que Rn = Ker(u) ⊕ Im(u).
  5. Soit λ une valeur propre de v = u2. Montrer que λ ≤ 0.
  6. On suppose maintenant que λ ≠ 0, on introduit x0 un vecteur propre associé, et on note F = Vect(x0, u(x0)).
    1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de dimension 2 dans Im(u).
    2. Montrer que pour tout x ∈ F on a u(x) ∈ F.
    3. Montrer que l’application w : F → F ; x ↦ u(x) n’admet pas de valeur propre réelle.
    4. Donner la matrice représentative de w dans la base (x0, 1/√−λu(x0))
  7. Déterminer une matrice P inversible telle que A = P [ [ 0 ; −√3 ; 0] [ √3 ; 0 ; 0] [ 0 ; 0 ; 0] ] P−1.

Matrice de Vandermonde

  1. La matrice (: (1 ; 2 ; 4) ; (1 ; 3 ; 9) ; (1 ; −1 ; 1)) est-elle inversible ?
  2. Soit (λ, μ) ∈ R2. À quelle condition la matrice (: (1 ; λ) ; (1 ; μ)) est-elle inversible ?
  3. Soit (λ, μ, ν) ∈ R3 et P(x) = x2 + bx + c.
    On pose A = (: (1 ; λ ; λ2) ; (1 ; μ ; μ2) ; (1 ; ν ; ν2)) et Q = (: (1 ;0 ; c) ; (0 ; 1 ; b) ; (0 ; 0 ; 1)). Calculer AQ et en déduire une condition sur b et c permettant d’affirmer que la matrice A est équivalente à (: (1 ; λ ; 0) ; (1 ; μ ; 0) ; (1 ; ν ; P(ν))).
    À quelle condition la matrice A est-elle inversible ?
  4. Soit (λ1, … , λn) ∈ Rn. On pose V = (: (1 ; λ1 ; λ12 ; … ; λ1n−1) ; (1 ; λ2 ; λ22 ; … ; λ2n−1) ; (⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; ; ⋮) ; (1 ; λn−1 ; λn−12 ; … ; λn−1n−1) ; (1 ; λn ; λn2 ; … ; λnn−1)) et P(x) = (x − λ1)(x − λ2)⋯(x − λn−1).
    Expliciter le degré de P puis montrer que V est équivalente à la matrice W = (: (1 ; λ1 ; λ12 ; … ; λ1n−2 ; 0) ; (⋮ ; ⋮ ; ⋮ ; ; ⋮ ; ⋮) ; (1 ; λn−1 ; λn−12 ; … ; λn−1n−2 ; 0) ; (1 ; λn ; λn2 ; … ; λnn−2 ; P(λn))) et en déduire par récurrence que V est inversible si et seulement si les réels λ1, … , λn sont deux à deux distincts.
Problème : Décomposition de Dunford

On pose M = [[1 ; 2 ; −2] [1 ; 5 ; −4] [1 ; 2 ; −1]] .

  1. Soit a, b, c trois constantes réelles et x ∈ R ∖ {1 ; 3}. Réduire au même dénominateur l’expression ax + b/(x − 1)2 + c/x − 3.
    En déduire les valeurs de a, b, c pour que 1/(x − 1)2 (x − 3) = ax + b/(x − 1)2 + c/x − 3.
  2. On pose A = (aM + bI)(M − 3I) et B = c(M − I)2. Montrer qu’on trouve A = −1/4 [[−4 ; 4 ; −4] [0 ; 6 ; −10] [0 ; 6 ; −10]] et B = 1/4 [[0 ; 4 ; −4] [0 ; 10 ; −10] [0 ; 6 ; −6]] puis calculer le produit de ces deux matrices ainsi que leurs carrés.
  3. Calculer D = A + 3B et N = M − D.
  4. Calculer N2 ainsi que DN et ND. Les matrices D et N commutent-elles ?
Problème : Interpolation
On cherche un polynôme du second degré P : x ↦ ax2 + bx + c qui interpole les premières puissances de 2.
  1. Calculer P(1), P(2) et P(3).
  2. Déterminer a, b et c pour obtenir simultanément P(1) = 1, P(2) = 2 et P(3) = 4.
  3. Déterminer les racines réelles ou complexes de P.
Problème : Polynômes de Tchebychev
ENS 2008

On rappelle la formule de De Moivre : pour tout n ∈ N, pour tout θ ∈ R, cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))n .

  1. Démontrer que pour tout réel θ on a cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
  2. En déduire un polynôme P2 tel que pour tout réel θ on ait cos(2θ) = P2(cos(θ)).
  3. Démontrer plus généralement à l’aide de la formule du binôme de Newton que pour tout n ∈ N∗ il existe un unique polynôme Pn tel que pour tout réel θ on ait cos(nθ) = Pn(cos(θ)).
  4. Préciser les expressions de P0, P1 et P3.
  5. En utilisant l’exponentielle complexe, montrer que pour tout (a, b) ∈ R2 on a cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos(a) cos(b).
  6. En déduire la relation sur les polynômes pour tout n ∈ N∗, pour tout x ∈ R, Pn+1(x) + Pn−1(x) = 2x Pn(x).
  7. Montrer que pour tout entier naturel n, le polynôme Pn est de degré n et de coefficient dominant 2n−1.
  8. Soit n ∈ N∗. Montrer que les racines de Pn sont exactement les réels de la forme rk = cos((2k+1)π/2n) avec 0 ≤ k < n.
  9. Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a |Pn(x)| ≤ 1 avec P(1) = 1.
Problème : Matrices et endomorphismes nilpotents
ENS 2007 problème

Premiers exemples

Une matrice carrée (ou un endomorphisme) est dite nilpotente si l’une de ses puissances est la matrice nulle.

  1. On pose A = (: (0 ; 2 ; 4) ; (0 ; 0 ; 3) ; (0 ; 0 ; 0)), B = (: (0 ; 5 ; 6) ; (0 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0)) et C = (: (0 ; 2 ; 4) ; (0 ; 0 ; 3) ; (0 ; 0 ; 1)).
    Montrer que les matrices A et B sont nilpotentes mais que C ne l’est pas.
  2. En notant (e1, e2, e3) la base canonique de R3, montrer que les familles (6e1, 4e1 + 3e2, e3) et (5e1, e2, −6e2 + 5e3) sont aussi des bases de R3.
  3. En utilisant les matrices de passage de la base canonique vers ces bases, montrer que les matrices A et B sont respectivement semblables à
    A′ = (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) ; (0 ; 0 ; 0)) et B′ = (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0)).
  4. Les matrices A et B sont-elles semblables ?

Noyaux emboités

Soit u un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension finie n.

  1. Montrer les inclusions suivantes : Ker(u) ⊂ Ker(u2) et Im(u2) ⊂ Im(u).
  2. On souhaite caractériser les endomorphismes dont le noyau et l’image sont supplémentaires.
    1. Montrer que si E = Im(u) ⊕ Ker(u) alors Im(u) = Im(u2).
    2. Réciproquement, montrer que l’égalité Im(u) = Im(u2) implique E = Im(u) + Ker(u), puis que cette somme est en fait directe.
    3. Donner un exemple d’espace vectoriel E et d’endomorphisme u ∈ L(E) tels que Ker(u) et Im(u) ne soient pas en somme directe.
  3. Montrer que pour tout k ∈ N∗, on a Ker(uk) ⊂ Ker(uk+1) et Im(uk+1) ⊂ Im(uk).
  4. En déduire qu’il existe un entier p tel que pour tout k ≥ p, Ker(uk) = Ker(up) et Im(uk) = Im(up).
  5. Déterminer ces deux espaces lorsque l’endomorphisme u est inversible.
  6. Montrer que dans ce cas, E = Ker(up) ⊕ Im(up).
  7. Montrer que pour tout k ≥ 1, si Ker(uk) = Ker(uk+1) alors Ker(uk+1) = Ker(uk+2).

Ordre de nilpotence

Supposons que u ∈ L(E) est un endomorphisme nilpotent. On appelle ordre de nilpotence de u le plus petit entier p tel que up = 0.

  1. Montrer que toutes les inclusions suivantes sont strictes :
    {0} ⊂ Ker(u) ⊂ Ker(u2) ⊂ ⋯ ⊂ Ker(up) = E.
  2. Montrer les inégalités p ≤ n + 1 − d ≤ n où d = dim(Ker(u)).
  3. Montrer qu’en outre on a p ≥ n/d. On pourra pour cela démontrer d’abord que pour tout entier k, on a dim(Im(uk)) = dim(Im(uk+1)) + dim(Im(uk) ∩ Ker(u)).
  4. Conclure que n = p si et seulement s’il existe k ∈ ⟦1, n − 1⟧ tel que dim(Ker(uk)) = k, et que dans ce cas l’égalité est vraie pour tout k ∈ ⟦1, n − 1⟧.

Représentations matricielles

Dans cette partie, on considère encore un endomorphisme nilpotent u non nul, d’ordre de nilpotence p sur E de dimension n.

  1. Justifier p ≥ 2.
  2. Dans le cas n = 2, montrer qu’il existe x ∈ E tel que u(x) ≠ 0 et que la famille (u(x), x) est une base de E. Représenter u dans cette base.
  3. Dans le cas p = n = 3, justifier qu’il existe x ∈ E tel que u2(x) ≠ 0 puis proposer une base dans laquelle u est représentée par la matrice (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 1) ; (0 ; 0 ; 0)).
  4. Lorsque n = 3 et p = 2, montrer que dim(Ker(u)) = 2 puis en déduire que u admet pour représantation matricielle (: (0 ; 1 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0) ; (0 ; 0 ; 0)).
  5. Dans le cas n = 4, expliciter les différentes valeurs possibles pour p et d = dim(Ker(u)).

Polynôme minimal

Pour tout polynôme défini par P(x) = ∑k=0d akxk, et pour toute matrice M ∈ ℳn(R), on définit la matrice P(M) = ∑k=0d akMk ∈ ℳn(R). Par exemple, si P(x) = x3 − 5x + 2 alors P(M) = M3 − 5M + 2In, où In est la matrice identité de taille n.

On admet que cette expression est compatible avec l’addition et la multiplication dans les polynômes, c’est-à-dire que pour tout (P, Q) ∈ Rd[x]2, on a (P + Q)(M) = P(M) + Q(M) et (P × Q)(M) = P(M) × Q(M).

On dit que le polynôme P est un polynôme annulateur de M si P(M) est la matrice nulle.

Polynôme annulateur d’une matrice carrée

Annales

ENS 2017 problème B
Matrices compagnons
ENS 2016 exercice 2
Produit scalaire dans Rn, forme linéaire, application à la matrice caractéristique d’ensembles finis dont les intersections sont toutes de même cardinal
ENS 2015 exercice 2
Trace d’une matrice
ENS 2014 exercice 1
Somme directe des images de deux matrices de taille n
ENS 2013 exercice 1
Étude d’une matrice
ENS 2012 exercice I
Résolution d’une équation linéaire par le pivot de Gauss puis par une méthode itérative
ENS 2011 problème
Matrices stochastiques
ENS 2010 exercice II
Endomorphisme associant à un polynôme son reste dans une division euclidienne
ENS 2009 exercice I
Polynômes premiers entre eux appliqués à une matrice
ENS 2008 exercice I
Endomorphismes u satisfaisant la relation u ∘ u = −id
ENS 2007 problème
Matrices nilpotentes
ENS 2005 problème I
Matrice de Vandermonde, vecteur totalisateur et matrice compagnon
ENS 2004 problème 1
Hyperplans et transvection
ENS 2003 exercice 2
Matrices quaternioniques
HEC 2017 exercice 2
Endomorphisme sur un sous-espace couplé avec un isomorphisme sur un supplémentaire, application sur un espace de polynômes
HEC 2016 exercice 2
Somme directe du noyau et de l’image d’une puissance d’un endomorphisme
HEC 2015 problème 1
Décomposition sur une base de vecteurs propres de P ↦ (X2 − 1) P′ − 2 X P
HEC 2012 exercice 2
Spectre de l’endomorphisme M ↦ AM − MB dans ℳn(R)
HEC 2011 problème 1 partie 1
Endomorphisme défini par (f(P))(x) = xP(x) + (x − 1) ∫0x P(t) dt
HEC 2009 problème 1
Polynôme annulateur et polynôme minimal d’une matrice carrée
HEC 2007 problème 2
Endomorphismes cycliques et commutant
HEC 2006 problème 1
Application M ↦ AM − MA dans ℳn(R),
HEC 2005 exercice 1
Endomorphismes qui commutent avec un endomorphisme nilpotent d’ordre maximal
ESSEC 2016 problème 2 partie I
Norme matricielle
ESSEC 2015 problème 1
Minimisation d’une forme quadratique sur un hyperplan affine, en particulier lorsque la matrice associée est la matrice de Hilbert
ESSEC 2014 problème 1
Diagonalisabilité d’une matrice admettant un polynôme annulateur scindé
ESSEC 2011 problème 2
Combinaisons linéaires des matrices identité et uniforme
ESSEC 2010 problème 1
Endomorphisme P ↦ xn P(x + 1/x)
ESSEC 2009 problème 1
Endomorphisme de K2n admettant un polynôme annulateur de degré 2
ESSEC 2007 exercice
Endomorphisme de C[X] par les racines complexes de l’unité
ESSEC 2006 exercice
Endomorphisme P ↦ (X − a)(P′(X) − P′(a)) − 2(P(X) − P(a))
ESSEC 2005 exercice
Endomorphisme cyclique en dimension 2
ENSAI 2010 exercice 1
Puissances de matrices
ENSAI 2010 exercice 4
Réunion de sous-espaces vectoriels
ENSAI 2009 problème
Inverse généralisée d’une matrice
ENSAI 2008 prepière partie
Puissances d’une matrice avec décomposition en diagonale et nilpotente
ENSAI 2008 deuxième partie
Polynôme sur les racines complexes de l’unité
ENSAI 2006 problème 1
Norme infinie et puissances d’une matrice In + N
ENSAI 2005 exercice 1
Noyaux emboités
ENSAI 2005 exercice 2
Formes bilinéaires et forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique
ENSAI 2004 exercice 1
Valeurs propres et vecteurs propres de l’endomorphisme P ↦ (X2 − 1) P′ − 2n X P
ENSAI 2004 exercice 3
Étude d’une matrice à coefficients trigonométriques
ENSAI 2003 problème
Formes linéaires et espace dual
Écricome 2011 1er problème
Endomorphisme P ↦ 1/2(P(X + 1) + P(X)) et image réciproque de la base canonique des polynômes.
Écricome 2010, 1er problème
Endomorphismes u satisfaisant la relation u ∘ u + u − 6 id = 0 avec application numérique sur une matrice carrée de taille 3.
Ecricome 2006, 1er problème
Résolution de l’équation P + P′ = Xn/n! à l’aide de l’endomorphisme P ↦ P + P′
Ecricome 2001, problème II
Puissance de matrices
Ecricome 2000, exercice 1
Endomorphisme P ↦ (X2 + 1) P″ − X P′