Exercices d’algèbre linéaire

Exercice

Pour chacune des descriptions de droites ci-dessous, déterminer une représentation paramétrique, une équation cartésienne et l’équation réduite.

• {(2 + 3t, 3 − 2t), t ∈ R}
• {(t + 5, 4 + t), t ∈ R}
• {(7t − 1, 6), t ∈ R}
• {(2t + 1, 2t − 1), t ∈ R}
• y = 5x − 1
• y = x
• y − 3x = y + 2x
• 6y + 5x = 1
• 3x − 4y = 7
• 9x = 5y − 2
• (x − 3)² + (y + 1)² = (x + 4)² + (y − 2)²

Exercice

Déterminer une équation cartésienne pour chacune des droites portant les côtés du triangle dont les sommets ont pour coordonnées A : (2 ; 4), B : (4 ; −3), C : (−1 ; 1).

Exercice

Représenter les droites d’équations respectives 5x − 3y = 7 et 3x − y = 3 et déterminer les coordonnées du point d’intersection par la résolution d’un système.

Exercice

Déterminer l'intersection des droites d'équations respectives 2x + 3y + 7 = 0 et 5x − y + 4 = 0.

Exercice

Dans le plan muni d'un repère cartésien, déterminer l'intersection des droites d'équations y = 2x + 7 et y = 4 − x puis déterminer une équation sous forme canonique de la droite passant par les points A (−2 ; 3) et B (3 ; −1).

Exercice

Soit m ∈ R. Déterminer l'intersection des droites d'équations respectives (4 − m)x − 3y + 2 = 0 et 3x − (2m + 3)y + 6 = 0.

Exercice

Soit t ∈ R. Déterminer les points d’intersection des droites d’équation (t + 4)x − 3y = 5 + 2t et 3x + (2t − 3)y = 5 − 2t.

Exercice

La distance entre deux points A : (x_A, y_A) et B : (x_B, y_B) s’écrit AB = √((x_A − x_B)² + (y_A − y_B)²).

1. Calculer la distance AB avec A : (1 ; 5), B : (3 ; −1).
2. Exprimer la distance d’un point M(x, y) au point A.
3. Déterminer tous les points qui sont à égale distance de A et B.
4. Déterminer les points qui sont à égale distance de A, B et C : (−2, 1).

Exercice

Résoudre les systèmes suivants d'inconnues réelles x et y, avec un éventuel paramètre m ∈ R.

• {y = 5x + 3 ;y = 2x − 1
• {2x + 3y − 5 = 0 ;4x − y + 2 = 0
• {3x − 4y = 1 ;2x + my = 3
• {2x − 3y = 5 ;4x + my = 4 − m
• {mx + (m + 6)y = 3 ;x − my = 1
• {mx + 5y = 2 ;x + (m − 4)y = −2
• {(5 − m)x − 2y = 4 ;7x − (4 + m)y = 14

Exercice

Résoudre le système suivant de paramètre t ∈ R et d’inconnues réelles x et y : {(t + 4)x − 3y = 5 + 2t ;3x + (2t − 3)y = 5 − 2t.

Exercice

Résoudre les systèmes suivants à l'aide de la méthode du pivot de Gauss

• {x + 2y + 3z = 0 ;4x + 5y + 6z = 0 ;7x + 8y + 9z = 0
• {x + 2y + 3z = 0 ;6x + 5y + 4z = 0 ;7x + 8y + 9z = 0
• {x + 2y + 3z = 0 ;8x + 9y + 4z = 0 ;7x + 6y + 5z = 0
• {x + 2y + 3z = 0 ;2x + 4y + 6z = 0 ;3x + 6y + 9z = 0
• {x + 2y + 3z = 1 ;4x + 5y + 6z = 0 ;7x + 8y + 9z = −1
• {5x + y − z = 0 ;2x + 4y − 2z = 2 ;x − y + 3z = −2

Exercice

Soit m ∈ R. Résoudre le système d'équations linéaires suivant : {mx + y + z = 1 ; x + my + z = m ; x + y + mz = m².

Exercice

Déterminer les coefficient réels d’un polynôme du second degré P : x ↦ ax² + bx + c tel que P(1) = 1, P(2) = 2 et P(3) = 4.

Exercice

Déterminer les coefficients du polynôme du second degré P tel que P(1) = 3, P(2) = 1 et P(3) = 0.
Quelles sont les solutions en remplaçant la deuxième condition par P′(2) = 1 ? et par P′(2) = 0 ?

Exercice : Polynôme d’interpolation

Déterminer les coefficients a, b, c, d pour que la fonction P : x ↦ ax³ + bx² + cx + d vérifie les quatre équations P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) = 4 et P(3) = 8.

Exercice

Soit n ∈ N avec n ≥ 2. Résoudre le système formé par les équations x_i + x_i+1 = 0 pour tout entier i entre 1 et n−1 et l'équation x_n + x₁ = 0.

Exercice

Justifier que les vecteurs (1 ; 3) et (2 ; 4) forment une base de R² et déterminer les coordonnées du vecteur (1 ; 5) dans cette base.

Exercice

On note u = (1, 2, 3), v = (−1, 1, 1), w = (5, −4, 1).

1. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice de R³ ? Est-ce une base ?
2. Déterminer une décomposition du vecteur x = (1, 1, 1) sur cette famille.

Exercice

On pose u = (2 ; −3 ; 2), v = (5 ; 3 ; −4), w = (3 ; −1 ; 0).

1. Calculer 2·u − 3·v − w.
2. La famille (u, v, w) est-elle libre ? génératrice ?
3. Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v + c·w = (−1 ; −2 ; 2)

Exercice

On pose u = (5 ; −1 ; 2), v = (−3 ; 2 ; 0), w = (1 ; 5 ; 4).

1. Calculer 2u − v + 3w.
2. Déterminer les solutions de l’équation a·u + b·v + c·w = (4 ; 1 ; 2).
3. La famille (u, v, w) est-elle libre ?

Exercice

1. Montrer que les vecteurs (1 ; 1 ; 2), (1 ; 2 ; 1) et (2 ; 1 ; 1) forment une base de R³, puis calculer les coordonnées du vecteur (1 ; 2 ; 3) dans cette base.
2. Soit m ∈ R. À quelle condition sur m les vecteurs u = (1 ; 1 ; m) et v = (1 ; m ; 1) sont-ils colinéaires ?
3. Dans le cas où u et v ne sont pas colinéaires, le vecteur w = (m, 1, 1) appartient-il à Vect(u, v) ?
   Quelles sont alors les coordonnées de w dans la base (u, v) ?
4. À quelle condition sur m les vecteurs u, v et w forment-ils donc une base de R³ ?

Exercice

On pose u = (1 ; 1 ; 1), v = (2 ; 3 ; −1), w = (4 ; 9 ; 1).

1. Montrer que la famille (u, v, w) est libre et génératrice dans R³.
2. Décomposer le vecteur (1 ; 2 ; 3) sur cette famille.
3. On s’intéresse plus généralement à une famille de vecteurs de la forme u = (1 ; 1 ; 1), y = (p ; q ; r), z = (p² ; q² ; r²)
   où p, q et r sont trois réels quelconques.
   1. La famille (u, y, z) peut-elle être libre si p = q ?
   2. Soit (a, b, c) ∈ R³ tel que a·u + b·y + c·z = 0. Montrer que la fonction x ↦ cx² + bx + a s’annule en p, q et r.
   3. En déduire que la famille est libre si les réels p, q et r sont tous différents deux à deux.

Exercice

À quelle condition sur les réels a, b les familles de vecteurs ci-dessous sont-elles des bases ? Déterminer une équation de l’espace engendré dans le cas contraire.

• (a, b, 0), (b, a, b), (0, b, a)
• (1, b, 0), (a, 1, b), (0, a, 1)
• (1, a, b), (b, 1, a), (a, b, 1)
• (1, a, b), (a, a², ab), (b, ab, b²)
• (0, a, b), (a, 2a, a + b), (b, a + b, 2b)
• (1, 1 + a, 1 + b), (1 + a, 2a, a + b), (1 + b, a + b, 2b)
• (1, 1/(1+a), 1/(1+b)), (1/(1+a), 1/(2a), 1/(a+b)), (1/(1+b), 1/(a+b), 1/(2b)),

Exercice

Pour tout x = (x₁, … , x_n) ∈ Rⁿ et y = (y₁, … , y_n) ∈ Rⁿ, on pose φ(x, y) = ∑_i=1ⁿ x_iy_i.

1. Montrer que pour tout x ∈ Rⁿ on a φ(x, x) ≥ 0.
2. Déterminer tous les vecteurs x ∈ Rⁿ tels que φ(x, x) = 0.
3. Soit x ∈ Rⁿ. On suppose que pour tout y ∈ Rⁿ, φ(x, y) = 0. Montrer que x = 0.

Exercice

Déterminer une base et la dimension de l’espace des solutions pour chacun des systèmes homogènes définis plus haut.

Exercice

Déterminer une base et la dimension de chacun des espaces suivants :

• Vect((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9))
• Vect((1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9))
• Vect((4, 2, 1), (−1, 2, 7))