Exercices fonctions de plusieurs variables

Problème

ENS 2011 exercice I

Pour tout (x, y) ∈ ]0 ; 1[² on pose d(x, y) = x ln((x)/(y)) + (1 − x) ln((1 − x)/(1 − y)).

1. Soit x ∈ ]0 ; 1[. Tracer l'allure de la courbe de la fonction f : y ↦ d(x, y), en précisant les éventuelles tangentes et asymptotes remarquables.
2. Soit y ∈ ]0 ; 1[. Tracer l'allure de la courbe de la fonction g : x ↦ d(x, y), en précisant les éventuelles tangentes et asymptotes remarquables.
3. Montrer que la fonction d est toujours positive.
4. Pour quelles valeurs de (p, q) ∈ ]0 ; 1[² a-t-on d(p, q) = 0 ?
5. Montrer que pour tout (p, q)² ∈ ]0 ; 1[² on a d(p, q) ≥ 2(p − q)².

Problème

ENS 2016 planche 8 exercice 2

Pour toute fonction g : R^k → R, on appelle maximiseur de g tout point x₀ ∈ R^k tel que g(x₀) ≥ sup_x∈R^k g(x).
On considère la fonction définie par F(m, s) = (1)/(s) exp(−(m²+(m−2)²)/(2s)).

1. Donner le domaine de définition D de F dans R².
2. Montrer qu’un point maximise F si et seulement s’il maximise aussi ln(F).
3. Déterminer les dérivées partielles de F.
4. Montrer que, quelle que soit la valeur de s ∈ R^+∗, m₀ = 1 est l’unique maximiseur de la fonction m ↦ F(m, s)
5. Montrer que la fonction s ↦ F(m₀, s) admet un unique maximiseur que l’on calculera.
6. Montrer que pour tout (m, s) ≠ (m₀, s₀) dans D, on a F(m, s) < F(m₀, s₀).