Devoir non surveillé n^o 1

Ensemble de matrices

Pour tout (a, b) ∈ R², on note M_a,b = [[a ;b ;]][0 ;a ;]]. On note aussi E l’ensemble de ces matrices.

1. Montrer que E est un espace vectoriel.
2. Pour tout (a, b, c, d) ∈ R⁴, calculer M_a,b × M_c,d. Ce produit appartient-il à E ?
3. En déduire une expression de l’inverse de M_a,b si elle existe.
4. Décrire l’ensemble des matrices B ∈ ℳ₂(R) telles que pour tout (a, b) ∈ R²,M_a,bB = BM_a,b.

Réunion d’évènements indépendants

Soit n ∈ N^∗. On considère n évènements indépendants notés A₁, … , A_n tels que pour tout k ∈ ⟦1 ; n⟧, on a P(A_k) = 1/2k. On note aussi U_n l’évènement selon lequel au moins l’un des évènements A_k est réalisé.

1. Calculer P(U_n).
2. Montrer que pour tout x ∈ R on a 1 − x ≤ exp(−x).
3. Montrer que P(U_n) ≥ 1 − exp(∑_k=1ⁿ −1/2k).
4. En déduire que la suite (P(U_n)) converge en précisant sa limite.

Intégrale dépendant de ses bornes

On pose pour tout x ∈ R^+∗, f(x) = ∫_x^3x e^−t/t) dt.

1. Justifier que la fonction f est bien définie et dérivable sur R^+∗ et préciser l’expression de sa dérivée.
2. En déduire les variations de la fonction f.
3. Soit x > 0. Déterminer le minimum et le maximum de la fonction t ↦ e^−t sur l’intervalle [x, 3x]. En déduire un encadrement de f(x).
4. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
5. Montrer de même que la fonction f est prolongeable par continuité en 0 et préciser sa valeur limite.
6. En exprimant f′(x) comme le taux d’accroissement d’une fonction g, montrer que la dérivée f′ admet une limite en 0 et préciser la valeur de cette limite.
7. Donner une équation de la tangente à la courbe de f en 0, puis tracer cette tangente et la courbe en précisant les éventuelles asymptotes.