Devoir surveillé n^o 1 en khâgne B/L

Intégrale dépendant de ses bornes

1. Montrer que pour tout t ∈ R^+∗ on a t > ln(t).
2. En déduire que la fonction f : x ↦ ∫_x^2x dt/t − ln(t)) est bien définie et dérivable sur R^+∗.
3. Calculer la dérivée de f.
4. Étudier les variations de f.
5. Pour tout x > 0, calculer ∫_x^2x dt/t).
6. Montrer que lim_t→+∞ t^3/2(1/t−ln(t) − 1/t) = 0 .
7. En déduire qu’il existe A > 0 tel que pour tout x ≥ A on a 1/t−ln(t)) − 1/t) ≤ 1/t^3/2).
8. En déduire que lim_t→+∞ ∫_x^2x(1/t−ln(t) − 1/t) = 0 .
9. Montrer que f admet une limite en +∞ et que cette limite vaut ln(2).
10. Montrer que f est prolongeable en une fonction continue sur R⁺. Ce prolongement est-il dérivable à droite en 0 ?
11. Donner l’allure de la représentation graphique de f.

Exponentielle de matrices

On considère 3 matrices A = [[0 ;0 ;0 ;]][0 ;0 ;0 ;]][−1 ;0 ;1 ;]], B = [[−2 ;0 ;0 ;]][3 ;1 ;0 ;]][−2 ;0 ;0 ;]] et C = [[1 ;0 ;0 ;]][−2 ;−1 ;0 ;]][0 ;0 ;1 ;]].
Pour tout (a, b, c) ∈ R³, on note M_a,b,c = aA + bB + cC.

On note F l’espace vectoriel engendré par la famille ℬ = (A, B, C).

1. Calculer les matrices M₁ = A − B − C, M₂ = 2A − B − 2C et M₃ = A, puis montrer que la famille ℬ′ = (M₁, M₂, M₃) forme une base de F.
2. Exprimer la matrice P représentative de la base ℬ′ dans la base ℬ, appelée matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′.
3. Calculer l’inverse de P.
4. Calculer tous les produits deux à deux des éléments de la famille ℬ′.
5. Montrer que pour tout i ∈ {1 ; 2 ; 3}, pour tout k ∈ N^∗, on a M_i^k = M_i.
6. Montrer que le produit de deux éléments de F est encore un élément de F.
7. Décomposer la matrice identité I₃ sur la base ℬ′.
8. Soit (a, b, c) ∈ R³.
   1. Décomposer M_a,b,c sur la base ℬ′.
   2. Pour tout k ∈ N, exprimer la puissance (M_a,b,c)^k comme une combinaison linéaire sur la base ℬ′.
   3. Pour tout n ∈ N, on pose S_n = ∑_k=0ⁿ 1/k! (M_a,b,c)^k avec la convention (M_a,b,c)⁰ = I₃. Montrer qu’il existe trois suites (α_n), (β_n), (γ_n) telles que pour tout n ∈ N on ait S_n = α_nM₁ + β_nM₂ + γ_nM₃.
   4. Montrer que les trois suites (α_n), (β_n), (γ_n) convergent et préciser leur limite.

Endomorphisme sur un espace de polynôme

Soit n un entier naturel non nul. On note E_n l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On note ℬ = (e₀, e₁, … , e_n) la base canonique associée, vérifiant pour tout i ∈ ⟦0 ; n⟧, e_i(x) = xⁱ.
On introduit les polynômes (H₀, H₁, … , H_n) définis par H₀ = 1 et pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, H_i(x) = x(x − i)ⁱ⁻¹/i!).
Pour tout polynôme P ∈ E_n, on définit la fonction f(P) par (f(P))(x) = xP(x) + (x − 1) ∫₀^x P(t) dt.

1. Vérifier que l'application f est linéaire sur E_n.
2. Pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, calculer une expression de la fonction f(P) lorsque P(x) = xⁱ.
3. Pour tout P ∈ E_n, calculer la dérivée (f(P))′, puis montrer les égalités (f(P))(0) = (f(P))′(0) = 0.
4. Pour tout polynôme P ∈ E_n, justifier que la fonction T(P) : x ↦ (f(P))(x)/x²) est une fonction polynôme.
5. Montrer que l’application T constitue un endomorphisme de E_n.
6. Dans le cas n = 4, représenter l’endomorphisme T dans la base canonique.
7. Pour tout i ∈ ⟦0 ; n⟧, en notant Q_i(x) = H_i(x − 1), montrer que la fonction H_i+1 est une primitive de la fonction Q_i, puis en déduire une expression de T(Q_i).
8. Montrer que pour tout 0 ≤ i ≤ j la dérivée j-ième de H_i s’écrit H_i^(j)(x) = H_i−j(x − j).
9. Pour tout (i, j) ∈ ⟦1, n⟧², calculer H_i^(j)(j).
10. Montrer que la famille (H₀, … , H_n) est une base de E_n.
11. Montrer que pour tout P ∈ E_n on a P = ∑_i=0ⁿ P⁽ⁱ⁾(i) H_i.

Taux de panne

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que pour tout n ∈N^∗, P(X ≥ n) > 0. On appelle taux de panne associé à X la suite réelle (x_n) définie pour tout n ∈ N^∗ par x_n = P_X≥n(X = n).

1. Montrer que pour tout entier n non nul, x_n = P(X = n) / P(X ≥ n).
2. Si Y est une variable géométrique de paramètre p, calculer son taux de panne.
3. On considère une variable aléatoire Z satisfaisant pour tout entier naturel n non nul, P(Z = n) = 1 / n(n + 1).
   1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N^∗, 1 / n(n + 1) = a / n + b / n + 1.
   2. Vérifier qu'avec cette définition on trouve ∑_n=1^+∞ P(Z = n) = 1.
   3. La variable Z admet-elle une espérance ?
   4. Pour tout entier n ≥ 1, calculer la probabilité P(Z ≥ n) puis calculer le taux de panne associé à Z.
4. Soit X une variable aléatoire admettant un taux de panne noté (x_n).
   1. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, P(X ≥ n) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X = n) = x_n ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   3. Déterminer les lois de variable aléatoire discrète à taux de panne constant.