Devoir surveillé no 2 en khâgne B/L

Épreuve en 4 h sans calculatrice ni document autorisé.

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Intégrale généralisée

On définit pour tout x ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[, f(x) = (x − 1)/(ln(x)), ainsi que f(0) = 0 et f(1) = 1.

  1. Montrer que la fonction f ainsi définie est continue sur R+ et dérivable sur R+∗.
  2. Dresser le tableau de variations de f avec ses limites éventuelles.
  3. En déduire les variations de la fonction F : x ↦ ∫0x f(t) dt sur R+ avec ses limites.
  4. Justifier que pour tout x ∈ ]0 ; 1[ on a F(x) = ∫0x (t)/(ln(t)) dt − ∫0x (1)/(ln(t)) dt = ∫xx2 (1)/(ln(t)) dt.
  5. À l’aide d’un développement limité, montrer que la fonction t ↦ (1)/(ln(t)) − (1)/(t − 1) admet une limite finie en 1.
  6. En déduire que les deux intégrales ∫xx2 (1)/(ln(t)) et ∫xx2 (1)/(t − 1) admettent une même limite L lorsque x tend vers 1, et calculer cette limite.
  7. En déduire la valeur de l’intégrale ∫01 (t − 1)/(ln(t)).
  8. Représenter graphiquement la fonction F, en précisant une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse x = 1.
  9. Justifier que l’égalité on a F(x) = ∫xx2 (1)/(ln(t)) dt est aussi valable pour tout x > 1.
  10. Montrer que pour tout x > 1 on a ∫xx2/ln(x) (dt)/(ln(t)) ≤ (x2)/(ln2(x)).
  11. Montrer de même que pour tout x > 1, on a (x2(1 − 1/ln(x)))/(2 ln(x)) ≤ ∫x2/ln(x)x2 (dt)/(ln(t)) ≤ (x2(1 − 1/ln(x)))/(2 ln(x) − ln(ln(x))).
  12. En déduire limx→+∞ (ln(x))/(x2) F(x) = (1)/(2).

Échantillon de variables uniformes

Dans tout l’exercice, on note θ un paramètre réel strictement positif.

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle [0, θ], et (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que X.

    1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
    2. Calculer l’espérance et la variance de X.
  2. Pour tout entier n ≥ 1, on pose Yn = (2)/(n) ∑k=1n Xk.
    1. Montrer qu’on a E(Yn) = θ.
    2. Calculer la variance de Yn et établir la relation ∀ ε > 0, limn→+∞ P(|Yn − θ| > ε) = 0.
  3. Pour tout entier n ≥ 1, on pose Tn = max(X1, X2, … , Xn).
    1. Montrer que la fonction de répartition FTn de la variable Tn est donnée pour tout x ∈ [0, θ] par FTn(x) = ((x)/(θ))n et qu’elle est constante en dehors de cet intervalle.
    2. Vérifier que Tn est une variable aléatoire à densité et préciser une expression de cette densité fTn.
    3. Calculer l’espérance de Tn et déterminer un réel α tel que E(αTn) = θ.
  4. Soit U et V deux variables aléatoires à densité indépendantes. On note fU une densité de U et FV la fonction de répartition de V. Établir, pour tout réel z, la convergence de l’intégrale J(z) = ∫−∞+∞ fU(t) FV(z + t) dt.
    On admet dans toute la suite que la fonction J est la fonction de répartition de la variable V − U.
  5. Pour tout entier n ≥ 2, on pose Zn = Tn−1 − Xn, où Tn−1 = max(X1, … , Xn−1).
    1. Montrer que Zn(Ω) = [−θ, θ].
    2. Justifier que les variables Tn−1 et Zn sont indépendantes.
    3. On note FTn−1 la fonction de répartition de Tn−1. À l’aide du résultat admis, montrer que la fonction de répartition FZn de Zn est donnée par FZn(z) = ∫zθ+z (1)/(θ)FTn−1(u) du.
    4. Calculer une expression de cette intégrale. On pourra distinguer les cas z ≥ 0 et z < 0.

Endomorphisme non commutant

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 2, et on considère un endomorphisme v ∈ L(E) diagonalisable et possédant au plus deux valeurs propres λ et μ. On notera aussi p = dim(Eλ) et q = dim(Eμ) les dimensions des espaces propres associés.

On note F l’ensemble des endomorphismes u ∈ L(E) tels que u = v ∘ u + u ∘ v.

  1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de L(E).
  2. Premier cas
    Montrer que si v n’a qu’une seule valeur propre λ alors v = λ.id.
    Déterminer les éléments de F dans ce cas. (On pourra distinguer les cas λ = 1/2 et λ ≠ 1/2.)
  3. Deuxième cas
    On suppose maintenant que v a bien deux valeurs propres distinctes telles que λ + μ ≠ 1. Soit u ∈ F. Montrer que dans tout vecteur propre de v appartient à Ker(u).
    En déduire que F = {0} dans ce cas.
  4. Troisième cas
    On suppose désormais que v a bien deux valeurs propres distinctes telles que λ + μ = 1.
    1. Soit u ∈ F. Montrer que u(Eλ) ⊂ Eμ et u(Eμ) ⊂ Eλ.
    2. Montrer réciproquement que pour tout u ∈ L(E), si u(Eλ) ⊂ Eμ et u(Eμ) ⊂ Eλ alors u ∈ F. (On pourra travailler matriciellement dans une base de E obtenue en concaténant une base de Eλ et une base de Eμ.)
    3. Déterminer les projecteurs de E qui appartiennent à F.
    4. Montrer que F contient des symétries de E si et seulement si p = q.
    5. Déterminer la dimension de F en fonction de p et q.

Courbe de Lorenz pour une variable exponentielle

Variable aléatoire

Soit λ ∈ R∗+.

  1. Rappeler la fonction de densité f et la fonction de répartition Fd'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
  2. Calculer l’espérance de cette variable.

Analyse de fonction

  1. Montrer que la fonction de répartition F est bijective de R+ sur [0 ; 1[ et que sa réciproque s'écrit pour tout x ∈ [0 ; 1[, F−1(x) = −1/λ ln(1 − x).
  2. Pour tout x ∈ R+, calculer Q(x) = λ ∫0x t f(t) dt.
  3. Montrer que la composée h = Q ∘ F−1 vérifie pour tout x ∈ [0 ; 1[, h(x) = x + (1 − x) × ln(1 − x).
  4. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  5. Montrer que la dérivée de h est croissante.
  6. Montrer que la fonction h est prolongeable par continuité en 1.
    Le prolongement par continuité est-il dérivable en 1 ?
  7. Tracer l'allure de la courbe représentative de h, appelée courbe de Lorenz.
  8. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction h en 0.
  9. Calculer le coefficient de Gini de la loi exponentielle, c'est-à-dire 1 − 2 × ∫01 h(t) dt.

Principe de Pareto

La courbe de Lorenz permet de représenter la poids des faibles valeurs par rapport au poids total des valeurs. Selon le principe de Pareto, 20 % des valeurs concentrent 80 % du poids total. Ce n'est pas le cas ici et on essaie d'évaluer le point d'intersection de la courbe de Lorenz avec la droite d'équation y = 1 − x.

  1. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
  2. Justifier qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection entre la droite et la courbe.
  3. Montrer que l'ordonnée de ce point d'intersection satisfait l'équation 1 + y ln(y) = 2y.
  4. On pose pour tout t ∈ ]0 ; 1] φ(t) = 1 + t ln(t)/2.
    Montrer que le réel y de la question précédente est un point fixe de φ.
  5. Dresser le tableau de variations de φ en précisant ses limites et valeurs extrêmes.
    Expliciter l'intervalle image de φ, que l'on notera I.
  6. Montrer que l'intervalle I est stable par f et que pour tout t ∈ I on a |φ′(t)| ≤ 1/2.
  7. On définit une suite par récurrence en posant u0 = 1/2 et pour tout n ∈ N, un+1 = φ(un).
    Justifier que la suite u est bien définie à valeurs dans I et que pour tout n ∈ N on a |un+1 − y| ≤ (1)/(2)|un − y|.
  8. En déduire que pour tout n ∈ N on a |un − y| ≤ (1/2)n+1.
  9. Justifier que u converge vers y.
  10. Sachant que ln(2) vaut 0,7 à 0,01 près, calculer une valeur approchée de u1.