Fonctions de plusieurs variables

Dans tout ce chapitre, on fixe un entier n ∈ N^∗.

Introduction

Une fonction réelle de n variables réelles est une application d'une partie de Rⁿ vers R.

Pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, on a la projection (x₁, …, x_n) ↦ x_i définie sur Rⁿ.
Les monômes à n variables sont les produits de projections et d'une constante, s'écrivant (x₁, …, x_n) ↦ λ∏_i=1ⁿx_i^k_i, où λ ∈ R et (k₁, …, k_n) ∈ Nⁿ.
Le degré d'un tel monôme est la somme des exposants ∑_i=1ⁿ k_i.
Les fonctions polynômes à n variables sont les combinaisons linéaires de monômes.

La fonction polynomiale (x₁, …, x_n) ↦ x₁² + … + x_n² est positive et ne s'annule qu'à l'origine.

Pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧, on a x₁² + … + x_n² ≥ x_i² ≥ 0 donc en tout point d'annulation, toutes les composantes sont nulles.

Pour tout x = (x₁, …, x_n) ∈ Rⁿ on définit sa norme euclidienne ||x|| = √(x₁² + … + x_n²).

La distance entre deux points x = (x₁, …, x_n) et y = (y₁, …, y_n) de Rⁿ s'écrit d(x, y) = ||y − x|| = √((y₁ − x₁)² + … + (y_n − x_n)²).

On étend ainsi la définition de la distance dans le plan euclidien.

Inégalité triangulaire: Pour tout (x, y, z) ∈ (Rⁿ)³, on a ||x − y|| ≤ ||x − z|| + ||z − y||.

Topologie élémentaire

Soit a ∈ Rⁿ et r ∈ R^∗+. La boule ouverte de centre a et de rayon r est l'ensemble des points dont la distance à a est strictement inférieure à r : B(a, r) = {x ∈ Rⁿ : ||x − a|| < r}.

En dimension 1, les boules ouvertes sont les intervalles ouverts bornés. En dimension 2, il s'agit des intérieurs de cercles. En dimension 3, une boule ouverte est l'intérieur d'une sphère.

Soit U une partie de Rⁿ. On dit que U est ouverte si pour tout a ∈ U il existe r ∈ R^∗+ tel que B(a, r) ⊂ U.

Le vide est ouvert.
L'espace Rⁿ est ouvert dans lui-même.
Les intervalles ouverts sont ouverts dans R.
L'espace Rⁿ privé d'un point est ouvert.
Toute boule ouverte est un ouvert.

Le produit cartésien d'ouverts est un ouvert.

En particulier, le produit cartésien d'intervalles ouverts est un ouvert appelé pavé.

L'union d'une famille quelconque d'ouverts est un ouvert. L'intersection d'une famille finie non vide d'ouverts est un ouvert.

Soit A une partie de Rⁿ et soit a ∈ A. On dit que a est un point isolé dans A s'il existe r ∈ R^∗+ tel que B(a, r) ∩ A = {a}.

Limite et continuité

Soit f une fonction définie sur une partie A de Rⁿ et soit a ∈ Rⁿ tel que pour tout r ∈ R^∗+, B(a, r) ∩ A ≠ ∅. Soit L ∈ R.
On dit que f tend vers L en a et on note lim_x→a f(x) = L si pour tout voisinage V de L il existe r ∈ R^∗+ tel que pour tout x ∈ B(a, r) ∩ A on ait f(x) ∈ V.

La fonction (x, y) ↦ 1/(x² + y²), définie sur R² \ {(0 ; 0)}, tend vers +∞ en (0 ; 0).

Caractérisation séquentielle de la limite: On a lim_x→a f(x) = L si et seulement si pour toute suite (u_k) convergeant vers a on a lim_k→+∞ f(u_k) = L.

Soit f une fonction réelle définie sur une partie A de Rⁿ.

Pour tout point a ∈ A, on dit que f est continue en a si on a lim_x→a f(x) = f(a).

On dit que f est continue sur A si elle est continue en tout point de A.

Toute fonction constante est continue.
Toute projection (x₁, …, x_n) ↦ x_i est continue.

La somme et le produit de deux fonctions continues sur un même domaine de Rⁿ sont aussi des fonctions continues sur ce domaine.
La composée d'une fonction continue sur un domaine A ⊂ Rⁿ à valeurs dans un intervalle I de R et d'une fonction réelle continue définie sur I définit aussi une fonction continue sur A.

On utilise la caractérisation séquentielle de la limite.

On en déduit directement que toute fonction polynomiale est continue.

Dérivées partielles

On note (e₁, …, e_n) la base canonique de Rⁿ.

Soit f une fonction réelle définie sur un ouvert U de Rⁿ. Soit a ∈ U et i ∈ ⟦1 ; n⟧.
On dit que la fonction f admet une dérivée partielle par rapport à la i-ème variable en a si la fonction h ↦ f(a + he_i) est dérivable en 0.
Dans ce cas, le nombre dérivé obtenu est noté D_if(a) ou ∂f/∂x_i(a).

Avec les notations de la définition, on trouve donc ∂f/∂x_i(a) = lim_h→0 (f(a + te_i) − f(a))/h.

Toute projection (x₁, …, x_n) ↦ x_i est dérivable de dérivée partielle constante de valeur 1 par rapport à x_i, et de dérivée partielle nulle par rapport aux autres variables.

Les dérivées partielles sont linéaires et satisfont la relation de dérivation du produit : si f et g sont deux fonctions admettant une dérivée partielle par rapport à la même i-ème variable en un point a d'un même ouvert sur lequel elles sont définies, alors les combinaisons linéaires et le produit de ces deux fonctions sont aussi dérivables par rapport à cette variable en a et on a ∂(λf + g)/∂x_i = λ∂f/∂x_i + ∂g/∂x_i et ∂(f × g)/∂x_i = ∂f/∂x_i × g + f × ∂g/∂x_i.

La composée d'une fonction de plusieurs variables f à valeurs dans un intervalle I admettant des dérivées partielles et d'une fonction g ∈ D¹(I, R) admet aussi des dérivées partielles avec ∂(g ∘ f)/∂x_i = ∂f/∂x_i × (g′ ∘ f).

Une fonction est dite de classe C¹ sur un ouvert U si elle est dérivable par rapport à toutes ses variables en tout point de U et si toutes ses dérivées partielles sont continues en tant que fonctions de plusieurs variables.

Toute fonction polynomiale est de classe C¹ et ses dérivées partielles sont polynomiales également.

Différentielle

Soit f une fonction définie sur un ouvert U ⊂ Rⁿ et soit a ∈ U.
On dit que f est différentiable en a s'il existe une forme linéaire φ ∈ L(Rⁿ, R) telle que pour tout v ∈ Rⁿ vérifiant a + v ∈ U on a f(a + v) = f(a) + φ(v) + o_v→0(||v||).

Il ne peut exister deux formes linéaires distinctes satisfaisant la relation de la définition ci-dessus pour une même fonction en un même point.

La forme linéaire de la définition, si elle existe, est appelée différentielle de f en a et notée df_a.

Si f est une fonction de classe C¹ sur un ouvert U de Rⁿ alors f est différentiable en tout point a ∈ U avec df_a : (h₁, …, h_n) ↦ ∑_i=1ⁿ h_i ∂f/∂x_i(a).

On en déduit que toute fonction de classe C¹ est continue. Contrairement à la propriété de continuité des fonctions dérivables à une seule variable, l'existence des dérivées partielles en tout point d'un ouvert ne garantit pas la continuité d'une fonction de plusieurs variables.

La fonction (x, y) ↦ xy/(x² + y²) prolongée par 0 en (0 ; 0) admet des dérivées partielles en tout point de R² mais n'est pas continue en (0 ; 0).

Dérivée d'une composée: Soit f une fonction de classe C¹ sur un ouvert U ⊂ Rⁿ.
Soit (u₁, …, u_n) une famille de fonctions réelles dérivables sur un même intervalle réel I telle que pour tout t ∈ I on a (u₁(t), …, u_n(t)) ∈ U. Alors la fonction g : t ↦ f(u₁(t), …, u_n(t)) est dérivable et pour tout t ∈ I on a g′(t) = ∑_i=1ⁿ u_i′(t) × ∂f/∂x_i(u₁(t), …, u_n(t)).

On n'utilise pas complètement le fait que f soit de classe C¹ sur U. La différentiabilité suffit.

Extremums

Soit f une fonction définie sur un ouvert U ⊂ Rⁿ et soit a ∈ U.

On dit que f admet un maximum local en a s'il existe r ∈ R^∗+ tel que la restriction de f à la boule ouverte B(a, r) admette un maximum en a, c'est-à-dire que pour tout x ∈ U tel que ||x − a|| < r on ait f(x) ≤ f(a).

De même, on dit que f admet un minimum local en a s'il existe r ∈ R^∗+ tel que la restriction de f à la boule ouverte B(a, r) admette un minimum en a, c'est-à-dire que pour tout x ∈ U tel que ||x − a|| < r on ait f(x) ≥ f(a).

On dit que a est un point critique pour la fonction f si les dérivées partielles de f s'annulent en a.

Condition nécessaire pour un extremum libre: Si une fonction de classe C¹ sur un ouvert U ⊂ Rⁿ admet un minimum ou un maximum local en un point a ∈ U alors ce point est un point critique de la fonction f.

Là encore, la condition de classe C¹ peut être remplacée par la simple existence des dérivées partielles.

Supposons que f admette un maximum ou un minimum local en a. Alors toutes les fonctions partielles h ↦ f(a + he_i) admettent un maximum ou un minimum local en 0 donc leur dérivée s'annule en 0.

Soit f une fonction définie sur un ouvert U ⊂ Rⁿ et soit C un hyperplan affine d'équation a₁x₁ + … + a_nx_n = c.
On dit que f présente un extremum local en un point (x₁, …, x_n) sous la contrainte C si la restriction de f à C admet un extremum local en (x₁, …, x_n).

Théorème des extrema liés: Soit f une fonction de classe C¹ sur un ouvert U ⊂ Rⁿ. Soit C un hyperplan d'équation ∑_i=1ⁿ a_ix_i = c.
Si f présente un extremum local en un point (x₁, …, x_n) sous la contrainte C, alors il existe λ ∈ R tel que pour tout i ∈ ⟦1 ; n⟧ on ait ∂f/∂x_i(x₁, …, x_n) = λa_i.

Un réel λ satisfaisant la relation du théorème est appelé multiplicateur de Lagrange.

Fonctions homogènes

Soit C une partie de Rⁿ. On dit que C est un cône si pour tout (x₁, …, x_n) ∈ C et pour tout t ∈ R^∗+ on a (tx₁, …, tx_n) ∈ C.

L'espace Rⁿ, privé ou non de l'origine, est un cône dans lui-même.
L'image réciproque de R⁺ ou de R^∗+ par une forme linéaire est un cône.

L'intersection et l'union d'une famille de cônes sont des cônes.

Soit α ∈ R. Une fonction réelle f définie sur un cône C ⊂ Rⁿ est dite homogène de degré α si pour tout (x₁, …, x_n) ∈ C et pour tout t ∈ R^∗+ on a f(tx₁, …, tx_n) = t^αf(x₁, …, x_n).

Toute fonction constante est homogène de degré 0.
Tout monôme de degré d est homogène de degré d. Un polynôme homogène est une combinaison linéaire de monômes de même degré. En particulier, les formes linéaires sont les polynômes homogènes de degré 1.
La norme euclidienne est homogène de degré 1.

Aucune fonction non nulle et homogène de degré α < 0 ne peut admettre de limite finie à l'origine.

Théorème d'Euler: Soit α ∈ R et f une fonction de classe C¹ sur un cône ouvert C ⊂ Rⁿ. La fonction f est homogène de degré α si et seulement si pour tout (x₁, …, x_n) ∈ C on a ∑_i=1ⁿ x_i × ∂f/∂x_i(x₁, …, x_n) = αf(x₁, …, x_n).

On procède alors par double implication.

Supposons que la fonction f est homogène. Soit (x₁, …, x_n) ∈ C. Par dérivation on trouve pour tout t ∈ R⁺, ∑_i=1ⁿ x_i × ∂f/∂x_i(tx₁, …, tx_n) = αt^α−1f(x₁, …, x_n) donc avec t = 1 on trouve la relation du théorème.
Supposons maintenant que la relation du théorème est vérifiée. Soit (x₁, …, x_n) ∈ C. La fonction g : t ↦ t^−αf(tx₁, …, tx_n) est dérivable et pour tout t ∈ R⁺, g′(t) = −αt^−α−1 f(tx₁, …, tx_n) + t^−α∑_i=1ⁿ x_i × ∂f/∂x_i(tx₁, …, tx_n)
= t^−α−1 (∑_i=1ⁿ tx_i × ∂f/∂x_i(tx₁, …, tx_n) − αf(tx₁, …, tx_n)) = 0.
Donc la fonction g est constante de valeur g(1) = f(x₁, …, x_n).

Dérivées partielles d'ordre 2

Soit f une fonction définie et admettant une dérivée partielle ∂f/∂x_i sur un ouvert U ⊂ Rⁿ.
Si cette dérivée partielle est elle-même dérivable par rapport à une variable x_j (avec i et j distincts ou non), alors on note ∂²f/∂x_j∂x_i cette dérivée partielle d'ordre 2 par rapport à x_i puis x_j.

Lorsque l'on dérive deux fois par la même variable, on note ∂²f/∂x_i∂x_i = ∂²f/∂x_i²

Une fonction est dite de classe C² sur un ouvert U ⊂ Rⁿ si elle admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à tout couple de variables.

L'ensemble des fonctions de classe C² sur un ouvert U ⊂ Rⁿ est stable par combinaison linéaire, produit et composition avec des fonctions de classe C².

Théorème de Schwarz: Soit f ∈ C²(U, R). Pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n⟧², on a ∂²f/∂x_j∂x_i = ∂²f/∂x_i∂x_j.

On exprime l'énoncé dans le cadre d'une fonction de deux variables au point a = (x₀ ; y₀) et on applique le théorème des accroissements finis à la fonction φ : t f(x₀ + t, y₀ + t) − f(x₀ + t, y₀) − f(x₀, y₀ + t) + f(x₀, y₀).