Cahier de textes et programme des colles de mathématiques en KBL

Des annales des sujets de mathématiques aux différents concours pour les BL sont disponibles sur le site de l’APML.

Les définitions et résultats répertoriés en tête de chaque chapitre sont susceptibles d’être demandés en interrogation de cours ou en colle. En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.

Du 28 mai au 1^er juin 2018

TP bases de données

Du 19 au 30 mars 2018

La dernière série de colles de mathématiques pour tous avant les écrits des concours portera sur tous les chapitres d’algèbre, à savoir : nombres complexes, polynômes, systèmes d’équations linéaires, matrices, espaces vectoriels et applications linéaires, rang, vecteurs propres, valeurs propres et espaces propres, diagonalisation.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (conjugué et module, exponentielle complexe, racine et ordre de multiplicité, système de Cramer, colinéarité, famille libre ou génératrice, base, dimension, rang, valeur propre et vecteur propre, espace propre, inversibilité, diagonalisabilité) ou l’un des résultats d’algèbre (formules d’Euler, caractérisation de l’ordre de multiplicité avec le polynôme dérivé, transposée du produit, théorème du rang, formule de Grassmann, famille de vecteurs propres, caractérisation de la diagonalisabilité avec les espaces propres).

Du 5 au 9 février et du 12 au 16 mars 2018

Il n’y aura pas de colle les deux semaines du 12 au 23 février pour cause de second concours blanc.

Les deux semaines de colles du 5 février et du 12 mars porteront sur tous les chapitres d’analyse sur les suites, séries et fonctions d’une variable réelle, à savoir : fonctions, analyse locale, analyse asymptotique, analyse globale, exponentielle et logarithme, trigonométrie, intégration sur un segment et intégrale généralisée, développement limité et suites réelles, limite de suite, séries.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (dérivée, équation de la tangente, suite arithmétique ou géométrique, suites adjacentes), l’une des fonctions de référence avec domaine, dérivée, limites, représentation graphique, un développement limité de référence, l’une des séries ou intégrales de référence, ou encore l’un des nombreux résultats d’analyse (critère de convergence de suite, fonction, série ou intégrale, théorème d’analyse globale).

Devoir: Concours blanc n^o 2 le jeudi 15 février

Du 22 janvier au 2 février 2018

Il ne reste plus désormais que 6 semaines de colle, soit une par domaine pour chaque élève. Les deux semaines du 22 janvier au 2 février porteront sur tous les chapitres de probabilités et statistiques, à savoir : probabilités sur un ensemble fini, variables aléatoires avec un support fini, variables aléatoires discrètes ou à densité, intervalle de fluctuation covariance et estimation.

La colle pourra commencer par l’énoncé de l’une des définitions fondamentales (indépendance, espérance, variance, probabilité conditionnelle, covariance, coefficient de corrélation linéaire), l’une des lois de probabilité de référence avec son espérance et sa variance, ou l’une des formules fondamentales de probabilités (probabilités totales, Bayes, Koenig-Huygens, théorème de transfert).

Du 15 au 19 janvier 2018

Questions de cours: Reformulation de la covariance; Covariance de variables indépendantes; Encadrement du coefficient de corrélation linéaire; Estimateur sans biais de la variance avec espérance connue; Estimateur sans biais de la variance avec espérance inconnue; Loi faible des grands nombres
Programme de colles: Exercices de calcul d'intervalles de fluctuation; Exercices de calcul de loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle, covariance et coefficient de corrélation linéaire pour des variables discrètes.; Détermination d’estimateurs sans biais à partir d’un échantillon de variables aléatoires, comparaison d’estimateurs sans biais par le calcul de la variance. Les intervalles de confiance n’ont pas encore été vus.
Cours: Estimateurs : intervalle de confiance
Soutien: Calcul d'espérance
TD: Exercices sur les estimateurs
Devoir: Devoir surveillé n^o 2 le jeudi 18 janvier; Annale ENS 2017

Du 8 au 12 janvier 2018

Questions de cours: Encadrement de la fréquence à l’aide de la loi normale; Simplification de l’encadrement de la fréquence; Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et application à la formulation d’un intervalle de fluctuation; Reformulation de la covariance; Covariance de variables indépendantes; Encadrement du coefficient de corrélation linéaire
Programme de colles: Exercices sur la diagonalisation; Exercices de calcul d'intervalles de fluctuation; Exercices de calcul de loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle, covariance et coefficient de corrélation linéaire pour des variables discrètes.
Cours: Estimateurs
Soutien: Calcul d'espérance
TD: Exercices sur les estimateurs

Du 18 au 22 décembre 2017

Questions de cours: Caractère sans mémoire de la loi exponentielle; Variance de la loi uniforme; Variance de la loi exponentielle; Encadrement de la fréquence à l’aide de la loi normale; Simplification de l’encadrement de la fréquence; Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et application à la formulation d’un intervalle de fluctuation
Programme de colles: Exercices sur les variables à densité et les intervalles de fluctuation
Cours: Covariance de variables aléatoires discrètes
Soutien: Loi de variables aléatoires discrètes
TD: Exercices sur la loi de couples de variables aléatoires

Du 11 au 15 décembre 2017

Questions de cours: Puissances de matrices semblables; Caractérisation de la diagonalisabilité à l’aide des vecteurs propres; Matrice carrée de taille n admettant n valeurs propres; Caractère sans mémoire de la loi exponentielle; Variance de la loi uniforme; Variance de la loi exponentielle
Programme de colles: Exercices sur les intégrales généralisées et sur les variables à densité
Cours: Intervalle de fluctuation
Soutien: Variable aléatoires et calcul d’intégrales
TD: Exercices sur les variables aléatoires à densité

Du 4 au 8 décembre 2017

Questions de cours: Théorème de comparaison; Convergence de l’intégrale de Gauss (la valeur doit être connue mais la démonstration de la valeur est hors programme); Lien entre convergence et convergence absolue; Puissances de matrices semblables; Caractérisation de la diagonalisabilité à l’aide des vecteurs propres; Matrice carrée de taille n admettant n valeurs propres
Programme de colles: Exercices sur les intégrales généralisées; Exercices sur la diagonalisation
Cours: Variables aléatoires à densité
Soutien: Variable aléatoires et calcul d’intégrales
TD: Exercices sur les variables aléatoires à densité

Du 27 novembre au 1^er décembre 2017

Questions de cours: Intégrale d’une fonction exponentielle sur [0 ; +∞[; Intégrale de la fonction logarithme sur ]0 ; 1]; Critère de Riemann pour l’intégrabilité des fonctions puissances; Théorème de comparaison; Convergence de l’intégrale de Gauss (la valeur doit être connue mais la démonstration de la valeur est hors programme); Lien entre convergence et convergence absolue
Programme de colles: Exercices sur les intégrales généralisées
Cours: Diagonalisation
Soutien: Manipulation des vecteurs colonnes, noyau et image d’une matrice
TD: Exercices de diagonalisation
Devoir: Devoir non surveillé n^o 3 pour le 11 décembre

Du 20 au 24 novembre 2017

Questions de cours: Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes; Spectre de la transposée et dimension des espaces propres; Lien entre valeurs propres et polynôme annulateur; Intégrale d’une fonction exponentielle sur [0 ; +∞[; Intégrale de la fonction logarithme sur ]0 ; 1]; Critère de Riemann pour l’intégrabilité des fonctions puissances
Programme de colles: Exercices sur le spectre et les espaces propres d’une matrice ou d’un endomorphisme; Exercices sur les intégrales généralisées seulement dans le cas où l’on parvient à déterminer une primitive
Cours: Intégrale généralisée : critères de convergence, absolue convergence
Soutien: Calcul de limites, équivalents et comparaison de croissance
TD: Exercices d’intégrales généralisées

Du 6 au 17 novembre 2017

En raison du 1^er concours blanc de la classe, les colles sont suspendues et reprendront à partir du lundi 20 novembre.

Cours: Intégrale généralisée : exemples, caractérisation de l’intégrabilité à l’aide d’une primitive, critère de Riemann
Soutien: Révision des méthodes d’intégration et calcul d’intégrales
TD: Exercices de calcul d’intégrales généralisées
Devoir: Concours blanc n^o 1 le jeudi 9 novembre 2017

Du 16 au 20 octobre 2017

Questions de cours: Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique; Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson; Somme de deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson; Indépendance linéaire de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes; Spectre de la transposée et dimension des espaces propres; Lien entre valeurs propres et polynôme annulateur
Programme de colles: Exercices sur le spectre et les espaces propres d’une matrice (les endomorphismes seront vus cette semaine en cours et la somme directe des espaces propres n’a pas encore été développée); Exercices sur les variables aléatoires discrètes
Cours: Analyse spectrale d’un endomorphisme
Soutien: Révision de la représentation matricielle
TD: Exercices sur le spectre d’un endomorphisme

Du 9 au 13 octobre 2017

Questions de cours: Critère du terme général négligeable; Critère de D’Alembert; Série géométrique dérivée d’ordre 1; Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique; Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson; Somme de deux variables indépendantes suivant des lois de Poisson
Programme de colles: Exercices sur les variables aléatoires discrètes; Exercices sur les séries
Cours: Analyse spectrale d’une matrice
Soutien: Révision du calcul du noyau et de l’image pour une matrice avec des coefficients à paramètre
TD: Exercices sur le spectre d’une matrice

Du 2 au 6 octobre 2017

Questions de cours: Variance de la loi uniforme; Divergence de la série harmonique; Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs; Critère du terme général négligeable; Critère de D’Alembert; Série géométrique dérivée d’ordre 1
Programme de colles: Exercices sur les séries
Cours: Variables aléatoires discrètes
Soutien: Révision de l’intégrale
TD: Exercices sur les variables aléatoires discrètes
Devoir: Devoir non surveillé n^o 2 pour le jeudi 12 octobre 2017

Du 25 au 29 septembre 2017

Questions de cours: Divergence de la série harmonique; Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs; Variance de la loi uniforme; Espérance de la loi uniforme; Espérance et variance de la loi de Bernoulli; Formule de König-Huygens; Propriété quadratique de la variance; Loi binomiale et vérification de la somme des probabilités
Programme de colles: Exercices sur les variable aléatoires discrètes avec un support fini; Exercices sur les séries à l’aide des séries de référence ou des séries téléscopiques voire en utilisant un équivalent du terme général
Cours: Séries : théorèmes de convergence, critère de D’Alembert, convergence absolue, série exponentielle et séries géométriques dérivées
Soutien: Révision des équivalents
TD: Exercices sur les séries
Devoir: Devoir surveillé n^o 1 le jeudi 28 septembre 2017

Du 18 au 22 septembre 2017

Questions de cours: Espérance de la loi uniforme; Espérance et variance de la loi de Bernoulli; Formule de König-Huygens; Propriété quadratique de la variance; Loi binomiale et vérification de la somme des probabilités
Programme de colles: Exercices sur les variable aléatoires discrètes avec un support fini
Cours: Séries : cadre général, série géométrique, série harmonique, séries alternées, théorème de comparaison, série de Riemann; Distribution de la fiche méthode sur la convergence des suites et séries
Soutien: Révision des suites
TD: Exercices sur les séries

Du 11 au 15 septembre 2017

Cours: Fin du cours sur les variable aléatoires avec un univers fini : variance, loi binomiale, indépendance; Distribution de la fiche méthode sur les variables aléatoires; Méthode de calcul pour la loi du maximum et du minimum pour une liste de variables indépendantes
Soutien: Révision des probabilités
TD: Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Du 5 au 8 septembre 2017

Le début des cours a lieu mardi 5 septembre.

Cours: Révisions pour le devoir non surveillé : noyau et image, dimension, polynômes, matrices semblables ou équivalentes, condition d’inversibilité
TD: Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Avant la rentrée

Le devoir non surveillé de transition (DNS1) est à rendre pour jeudi 14 septembre.

Du 28 mai au 1er juin 2018