Épreuve de mathématiques

Taux de panne

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que pour tout n ∈N^∗, P(X ≥ n) > 0. On appelle taux de panne associé à X la suite réelle (x_n) définie pour tout n ∈ N^∗ par x_n = P_X≥n(X = n).

1. Montrer que pour tout entier n non nul, x_n = P(X = n) / P(X ≥ n).
2. Si Y est une variable géométrique de paramètre p, calculer son taux de panne.
3. On considère une variable aléatoire Z satisfaisant pour tout entier naturel n non nul, P(Z = n) = 1 / n(n + 1).
   1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N^∗, 1 / n(n + 1) = a / n + b / n + 1.
   2. Vérifier qu'avec cette définition on trouve ∑_n=1^+∞ P(Z = n) = 1.
   3. La variable Z admet-elle une espérance ?
   4. Pour tout entier n ≥ 1, calculer la probabilité P(Z ≥ n) puis calculer le taux de panne associé à Z.
4. Soit X une variable aléatoire admettant un taux de panne noté (x_n).
   1. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, P(X ≥ n) = ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X = n) = x_k ∏_k=1ⁿ⁻¹ (1 − x_k).
   3. Déterminer les lois de variable aléatoire discrète à taux de panne constant.

Suite d’intégrales

Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 ; 1]. On pose pour tout n ∈ N, z_n = (∫₀¹ f(x)^1/n dx)ⁿ et pour tout y réel, φ(y) = e^y − y.

1. Dresser le tableau de variations de φ et montrer que la fonction φ est minorée par 1.
2. Montrer que pour tout réel y on a φ(y) ≤ φ(|y|).
3. Montrer qu’il existe un réel M ≥ 1 tel que pour tout réel x ∈ [0 ; 1] on ait (1/M) ≤ f(x) ≤ M.
4. En déduire une majoration de x ↦ |ln(f(x))/n)|.
5. Montrer que pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on a 1 + ln(f(x))/n) ≤ f(x)^1/n ≤ ln(f(x))/n) + exp(ln(M)/n)) − ln(M)/n).
6. Expliciter le développement limité de la fonction φ à l’ordre 2 en 0.
7. Montrer que la suite (z_n) converge vers e^I où I = ∫₀¹ ln(f(x) dx.

Résolution d’équation linéaire

1. On pose A₁ = [[5 ;1 ;−1 ;]][2 ;4 ;−2 ;]][1 ;−1 ;3 ;]] et B₁ = [[0 ;]][−2 ;]][2 ;]]. Résoudre l’équation A₁X = B₁ d’inconnue X ∈ ℳ_3,1(R) à l’aide de la méthode du pivot de Gauss.
2. On pose A₂ = [[1 ;1 ;]][1 ;1 ;]] et B₂ = [[1 ;]][1 ;]]. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des vecteurs X = [[x ;]][y ;]] ∈ ℳ_2,1(R) tels que A₂X = B₂.
3. On pose A₃ = [[1 ;1 ;]][0 ;1 ;]]. Cette matrice est-elle inversible ? Déterminer l’ensemble des valeurs propres de la matrice C₃ = ^tA₃ A₃ et montrer qu’il peut s’écrire {λ, μ} avec 0 < λ < μ < 3.
4. Pour chaque valeur propre de C₃, déterminer un vecteur propre associé qui s’écrive sous la forme [[u ;]][v ;]] avec u² + v² = 1.
5. Justifier que les deux vecteurs propres ainsi formés constituent une base de R².
6. Si C₃ représente un endomorphisme φ dans la base canonique de R², déterminer la matrice représentative de φ dans la base définie à la question précédente.

Polynômes de Tchebychev

On rappelle la formule de De Moivre : pour tout n ∈ N, pour tout θ ∈ R, cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))ⁿ .

1. Démontrer que pour tout réel θ on a cos(2θ) = 2 cos²(θ) − 1.
2. En déduire un polynôme P₂ tel que pour tout réel θ on ait cos(2θ) = P₂(cos(θ)).
3. Démontrer plus généralement que pour tout n ∈ N^∗ il existe un unique polynôme P_n tel que pour tout réel θ on ait cos(nθ) = P_n(cos(θ)).
4. Préciser les expressions de P₀, P₁ et P₃.
5. En utilisant l’exponentielle complexe, montrer que pour tout (a, b) ∈ R² on a cos(a + b) + cos(a − b) = 2 cos(a) cos(b).
6. En déduire la relation sur les polynômes pour tout n ∈ N^∗ P_n+1 + P_n−1 = 2 X P_n.
7. Montrer que pour tout entier naturel n, le polynôme P_n est de degré n et de coefficient 2ⁿ⁻¹.
8. Soit n ∈ N^∗. Montrer que les racines de P_n sont exactement les réels de la forme r_k = cos((2k+1)π/2n) avec 0 ≤ k < n.
9. Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a |P_n(x)| ≤ 1 avec P(1) = 1.