Épreuve de mathématiques

Épreuve en 4 h sans calculatrice ni document autorisé.

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Taux de panne

Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N telle que pour tout nN, P(Xn) > 0. On appelle taux de panne associé à X la suite réelle (xn) définie pour tout nN par xn = PXn(X = n).

  1. Montrer que pour tout entier n non nul, xn = P(X = n) / P(Xn).
  2. Si Y est une variable géométrique de paramètre p, calculer son taux de panne.
  3. On considère une variable aléatoire Z satisfaisant pour tout entier naturel n non nul, P(Z = n) = 1 / n(n + 1).
    1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout nN, 1 / n(n + 1) = a / n + b / n + 1.
    2. Vérifier qu'avec cette définition on trouve n=1+∞ P(Z = n) = 1.
    3. La variable Z admet-elle une espérance ?
    4. Pour tout entier n ≥ 1, calculer la probabilité P(Zn) puis calculer le taux de panne associé à Z.
  4. Soit X une variable aléatoire admettant un taux de panne noté (xn).
    1. Montrer que pour tout entier n ≥ 2, P(Xn) = k=1n−1 (1 − xk).
    2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, P(X = n) = xk k=1n−1 (1 − xk).
    3. Déterminer les lois de variable aléatoire discrète à taux de panne constant.

Suite d’intégrales

Soit f une fonction continue et strictement positive sur [0 ; 1]. On pose pour tout nN, zn = (01 f(x)1/n dx)n et pour tout y réel, φ(y) = eyy.

  1. Dresser le tableau de variations de φ et montrer que la fonction φ est minorée par 1.
  2. Montrer que pour tout réel y on a φ(y) ≤ φ(|y|).
  3. Montrer qu’il existe un réel M ≥ 1 tel que pour tout réel x ∈ [0 ; 1] on ait (1/M) ≤ f(x) ≤ M.
  4. En déduire une majoration de x|ln(f(x))/n|.
  5. Montrer que pour tout réel x ∈ [0 ; 1], on a 1 + ln(f(x))/nf(x)1/nln(f(x))/n + exp(ln(M)/n)ln(M)/n.
  6. Expliciter le développement limité de la fonction φ à l’ordre 2 en 0.
  7. Montrer que la suite (zn) converge vers eII = 01 ln(f(x) dx.

Résolution d’équation linéaire

  1. On pose A1 = 51−124−21−13 et B1 = 0−22. Résoudre l’équation A1X = B1 d’inconnue X ∈ ℳ3,1(R) à l’aide de la méthode du pivot de Gauss.
  2. On pose A2 = 1111 et B2 = 11. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des vecteurs X = xy ∈ ℳ2,1(R) tels que A2X = B2.
  3. On pose A3 = 1101. Cette matrice est-elle inversible ? Déterminer l’ensemble des valeurs propres de la matrice C3 = tA3 A3 et montrer qu’il peut s’écrire {λ, μ} avec 0 < λ < μ < 3.
  4. Pour chaque valeur propre de C3, déterminer un vecteur propre associé qui s’écrive sous la forme uv avec u2 + v2 = 1.
  5. Justifier que les deux vecteurs propres ainsi formés constituent une base de R2.
  6. Si C3 représente un endomorphisme φ dans la base canonique de R2, déterminer la matrice représentative de φ dans la base définie à la question précédente.

Polynômes de Tchebychev

On rappelle la formule de De Moivre : pour tout nN, pour tout θR, cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))n .

  1. Démontrer que pour tout réel θ on a cos(2θ) = 2 cos2(θ) − 1.
  2. En déduire un polynôme P2 tel que pour tout réel θ on ait cos(2θ) = P2(cos(θ)).
  3. Démontrer plus généralement que pour tout nN il existe un unique polynôme Pn tel que pour tout réel θ on ait cos(nθ) = Pn(cos(θ)).
  4. Préciser les expressions de P0, P1 et P3.
  5. En utilisant l’exponentielle complexe, montrer que pour tout (a, b) ∈ R2 on a cos(a + b) + cos(ab) = 2 cos(a) cos(b).
  6. En déduire la relation sur les polynômes pour tout nN Pn+1 + Pn−1 = 2 X Pn.
  7. Montrer que pour tout entier naturel n, le polynôme Pn est de degré n et de coefficient 2n−1.
  8. Soit nN. Montrer que les racines de Pn sont exactement les réels de la forme rk = cos((2k+1)π/2n) avec 0 ≤ k < n.
  9. Montrer que pour tout x ∈ [−1 ; 1] on a |Pn(x)| ≤ 1 avec P(1) = 1.