Devoir non surveillé n^o 1

Matrice de Vandermonde

1. Soit (λ, μ) ∈ R². À quelle condition la matrice A = [[1 ;λ ;]][1 ;μ ;]] est-elle inversible ?
2. Soit (λ, μ, ν) ∈ R³. Déterminer un polynôme P = X² + bX + c qui admette λ et μ comme racines.
   On pose A = [[1 ;λ ;λ² ;]][1 ;μ ;μ² ;]][1 ;ν ;ν² ;]] et Q = [[1 ;0 ;c ;]][0 ;1 ;b ;]][0 ;0 ;1 ;]].
   Calculer AQ et en déduire que la matrice A est équivalente à [[1 ;λ ;0 ;]][1 ;μ ;0 ;]][1 ;ν ;P(ν) ;]].
   À quelle condition la matrice A est-elle inversible ?
3. Démontrer par récurrence que la matrice A = [[1 ;λ₁ ;λ₁² ;… ;λ₁ⁿ⁻¹ ;]][1 ;λ₂ ;λ₂² ;… ;λ₂ⁿ⁻¹ ;]][ ;]][1 ;λ_n ;λ_n² ;… ;λ_nⁿ⁻¹ ;]] est inversible si et seulement si les valeurs (λ₁, … , λ_n) sont deux à deux distinctes.

Étude de fonction

Soit (p, q) ∈ ]0 ; 1[². On définit pour tout t ∈R, f(t) = tp − ln((1 − q) + q exp(t)).

1. Justifier que la fonction f est deux fois dérivable et calculer f″.
2. En déduire les variations de f′ et de f.
3. Montrer que f admet comme maximum g(q) = p ln(p/q) + (1 − p) ln(1−p/1−q).
4. Déterminer les variations de g sur l’intervalle ]0 ; 1[ en précisant ses limites.
5. Tracer la courbe représentative de g.
6. Montrer que pour tout q ∈ ]0 ; 1[ on a g(q) ≥ 2(p − q)².

Puissances de matrices

On note A = [[1 ;1 ;1 ;]][1 ;1 ;1 ;]][1 ;1 ;1 ;]] et B = [[3 ;1 ;1 ;]][1 ;3 ;1 ;]][1 ;1 ;3 ;]].

1. Déterminer le noyau et l'image de l'endomorphisme représenté par A dans la base canonique de R³, en précisant pour chacun de ces deux sous-espaces une base ainsi que la dimension.
2. Montrer la relation Ker f ⊕ Im f = R³.
3. Calculer A² et exprimer le résultat linéairement en fonction de A. En déduire pour tout n ∈ N^∗ une expression de Aⁿ comme multiple de A.
4. Déterminer, en utilisant la question précédente, une relation linéaire entre les matrices B, B² et la matrice identité. En déduire que la matrice B est inversible et calculer son inverse.
5. Donner une expression de Bⁿ pour tout n ∈ N^∗.

Problème d'urne

Soient a et b deux entiers strictement positifs. On considère une urne contenant initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher. On note aussi N = a + b.

On effectue des tirages successifs dans l'urne et à chaque tirage :

• si la boule est blanche, elle est remise immédiatement dans l'urne ;
• si la boule est noire, on la remplace par une nouvelle boule blanche.

Pour tout n ∈ N^∗, on note T_n la variable aléatoire qui vaut 1 si le n-ième tirage donne une boule noire et qui vaut 0 sinon ; on note aussi X_n le nombre de boules noires remplacées au cours des n premiers tirages.

1. Donner la loi de T₁, puis de T₂.
2. Pour tout n ∈ N^∗, exprimer X_n en fonction des variables aléatoires T₁, T₂, … T_n.
3. Montrer que pour tout n ∈ N^∗, on a P(T_n+1 = 1) = (a − E(X_n))/N.
4. En déduire que pour tout n ∈ N^∗, on a P(T_n = 1) = a(N − 1)ⁿ⁻¹/Nⁿ.