Intervalle de fluctuation

Cas de référence

Définition

Soit X une variable aléatoire réelle. Soit I un intervalle réel et soit α ∈ [0 ; 1]. On dit que I est un intervalle de fluctuation au niveau de confiance α si P(X ∈ I) = α.

En pratique, on choisit souvent par défaut un niveau de confiance de 95 %. Si X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 1/2, par exemple, on trouve P(X < 2) = P(X > 8) = 11/1024 0,01 donc l'intervalle [[2 ; 8]] est un intervalle de fluctuation à plus de 95 %.

Pour la loi uniforme sur un intervalle [0, A], on pose en général a = 0,025A et b = 0,975A, ce qui exclut des valeurs à gauche ou à droite de l'intervalle avec une même probabilité de 2,5 %.

Pour la loi normale centrée réduite, un intervalle de fluctuation à 95 % ne peut s'exprimer avec les fonctions de référence mais en notant Z une variable aléatoire normale centrée réduite on dispose de l'approximation P(Z ∈ [−1,96 ; 1,96]) 0,95.

Plus généralement, pour tout α ∈ ]0 ; 1[ on peut noter t_α l'unique antécédent de α par la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Dans ce cas, on a t_0,975 1,96 et t_1−α = −t_α.

Approximation par la loi normale

Soit (X_n) une suite de variables aléatoires réelles. Soit Z une variable aléatoire réelle. On dit que la suite (X_n) converge en loi vers Z si pour tout réel a en lequel la fonction de répartition F_Z est continue on a lim_n→+∞ F_{X_n}(a) = F_Z(a).

En particulier, si les variables aléatoires X_n et la variable aléatoire Z sont à valeurs entières, la convergence en loi s'écrit ∀ k ∈ Z, lim_n→+∞ P(X_n = k) = P(Z = k).

Si la variable aléatoire Z est à densité, la convergence en loi revient à écrire que pour tout intervalle réel I on a lim_n→+∞ P(X_n ∈ I) = P(Z ∈ I).

Théorème central de la limite: Soit (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi admettant une variance. En notant pour tout n ∈ N^∗, S_n = ∑_i=1ⁿ X_i, la suite ((S_n − E(S_n)) / √V(S_n)) converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

En particulier, ce théorème permet d'approcher certaines lois s'obtenant à l'aide de sommes de variables comme la loi binomiale ou la loi de Poisson.

La loi binomiale 𝓑(n, p) peut être approchée par la loi normale 𝓝(np, np(1 − p)) si le produit np(1 − p) est assez grand.
La loi de Poisson 𝓟(λ) peut être approchée par la loi normale 𝓝(λ, λ) si le paramètre λ est assez grand.

Attention, il n'y a pas d'approximation d'une loi quelconque par la loi normale.

Encadrement de la fréquence

Propriété

Si (X_i)_1≤i≤n est une famille de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p alors la moyenne X = 1/n ∑_i=1ⁿ X_i admet approximativement pour intervalle de fluctuation à 95 % l'intervalle [p − 1,96√p(1 − p)/n, p + 1,96√p(1 − p)/n].

Le théorème central de la limite et l'intervalle de fluctuation pour la loi normale centrée réduite donnent l'approximation P(S_n − E(S_n) / √V(S_n) ∈ [−1,96 ; 1,96]) 0,95 en notant S_n = ∑_i=1ⁿ X_i.

Or E(S_n) = ∑_i=1ⁿ E(X_i) = np par linéarité de l'espérance
et V(S_n) = ∑_i=1ⁿ V(X_i) = np(1 − p) par indépendance des variables (on reconnait l'espérance et la variance de la loi binomiale).

Donc on trouve P(np − 1,96√(np(1 − p)) ≤ S_n ≤ np + 1,96√(np(1 − p))) 0,95 d'où P(p − 1,96√(p(1 − p)/n ≤ X ≤ p + 1,96√(p(1 − p)/n) 0,95.

Cet intervalle peut être étendu en un intervalle de fluctuation avec une expression plus simple sous la forme [p − 1/√n, p + 1/√n] à l'aide de la majoration 1,96 < 2 et du fait que pour tout p ∈ [0 ; 1], on a p(1 − p) ≤ 1/4.

On obtient donc ainsi un encadrement probable de la fréquence d'observation d'un phénomène sur un échantillon. Cela permet notamment de détecter des écarts anormaux par rapport à une probabilité attendue.

Utilisation de la variance

Inégalité de Markov: Soit X une variable aléatoire réelle positive. Pour tout a ∈ R^∗+, P(X ≥ a) ≤ E(X)/a.

On pose Y = a1_X≥a qui est une variable de Bernoulli de valeurs 0 et a, toujours inférieure à X donc on trouve E(X) ≥ E(Y) = a P(X ≥ a), ce qui montre l'inégalité de Markov.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev: Soit X une variable aléatoire réelle admettant une variance. Pour tout ε ∈ R^∗+, on a P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ V(X)/ε².

On applique l'inégalité de Markov : P(|X − E(X)| ≥ ε) = P((X − E(X))² ≥ ε²) ≤ E((X − E(X))²)/ε² = V(X)/ε².

On en déduit un intervalle de fluctuation au niveau de confiance au moins 1 − α en choisissant ε pour obtenir V(X)/ε² ≤ α c'est-à-dire ε ≥ √V(X)/α.

Pour la loi normale centrée réduite, on trouve donc un intervalle de fluctuation au niveau de confiance au moins 95 % sous la forme [−ε, ε] avec ε = √20 4,5, ce qui est bien moins précis que l'intervalle [−1,96 ; 1,96].