Devoir surveillé no 2

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Courbe de Lorenz pour une variable exponentielle

Variable aléatoire

Soit λ ∈ R∗+.

  1. Rappeler la fonction de densité f et la fonction de répartition Fd'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
  2. Calculer l’espérance de cette variable.

Analyse de fonction

  1. Montrer que la fonction de répartition F est bijective de R+ sur [0 ; 1[ et que sa réciproque s'écrit pour tout x ∈ [0 ; 1[, F−1(x) = −1/λ ln(1 − x).
  2. Pour tout x ∈ R+, calculer Q(x) = λ ∫0x t f(t) dt.
  3. Montrer que la composée h = Q ∘ F−1 vérifie pour tout x ∈ [0 ; 1[, h(x) = x + (1 − x) × ln(1 − x).
  4. Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
  5. Montrer que la dérivée de h est croissante.
  6. Montrer que la fonction h est prolongeable par continuité en 1.
    Le prolongement par continuité est-il dérivable en 1 ?
  7. Tracer l'allure de la courbe représentative de h, appelée courbe de Lorenz.
  8. Donner le développement limité à l'ordre 2 de la fonction h en 0.
  9. Calculer le coefficient de Gini de la loi exponentielle, c'est-à-dire 1 − 2 × ∫01 h(t) dt.

Principe de Pareto

La courbe de Lorenz permet de représenter la poids des faibles valeurs par rapport au poids total des valeurs. Selon le principe de Pareto, 20 % des valeurs concentrent 80 % du poids total. Ce n'est pas le cas ici et on essaie d'évaluer le point d'intersection de la courbe de Lorenz avec la droite d'équation y = 1 − x.

  1. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
  2. Justifier qu'il n'y a qu'un seul point d'intersection entre la droite et la courbe.
  3. Montrer que l'ordonnée de ce point d'intersection satisfait l'équation 1 + y ln(y) = 2y.
  4. On pose pour tout t ∈ ]0 ; 1] φ(t) = 1 + t ln(t)/2.
    Montrer que le réel y de la question précédente est un point fixe de φ.
  5. Dresser le tableau de variations de φ en précisant ses limites et valeurs extrêmes.
    Expliciter l'intervalle image de φ, que l'on notera I.
  6. Montrer que l'intervalle I est stable par f et que pour tout t ∈ I on a |φ′(t)| ≤ 1/2.
  7. On définit une suite par récurrence en posant u0 = 1/2 et pour tout n ∈ N, un+1 = φ(un).
    Justifier que la suite u est bien définie à valeurs dans I et que pour tout n ∈ N on a |un+1 − y| ≤ 1/2|un − y|.
  8. En déduire que pour tout n ∈ N on a |un − y| ≤ (1/2)n+1.
  9. Justifier que u converge vers y.
  10. Sachant que ln(2) vaut 0,7 à 0,01 près, calculer une valeur approchée de u1.

Urne d’Ehrenfest

Initialisation

On définit pour tout entier n ≥ 1 la matrice An ∈ ℳn+1(R) s’écrivant An = 010……0n020…00n−10⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱⋱0n0……010.

  1. Exprimer la matrice A2 ∈ ℳ3(R) puis rechercher ses valeurs propres et espaces propres.
    Cette matrice est-elle diagonalisable ?
  2. Exprimer les puissances de A2.
  3. Justifier que la transposée de A2 est diagonalisable et préciser ses valeurs propres et espaces propres.

Fonctions hyperboliques

On définit les fonctions ch et sh pour tout x ∈ R par ch(x) = ex + e−x/2 et sh(x) = ex − e−x/2.

  1. Justifier que ces deux fonctions sont dérivables et que pour tout x ∈ R :
    • exp(x) = ch(x) + sh(x)
    • ch2(x) − sh2(x) = 1
    • ch′(x) = sh(x)
    • sh′(x) = ch(x).

Généralisation

La généralisation des résultats de la première partie va s’appuyer sur un espace vectoriel de fonctions.

Soit n ∈ N∗. Pour tout p ∈ ⟦0 ; n⟧ on définit les fonctions ep : x ↦ exp(px) et fp : x ↦ shp(x) × chn−p(x).

  1. Montrer que la famille ℬ = (f0, … , fn) est libre et en déduire la dimension de l’espace F = Vect(f0, … , fn).
  2. Justifier que pour tout k ∈ N tel que 2k ≤ n on a en−2k = (ch2 − sh2)k × (ch + sh)n−2k
    puis que en−2k ∈ F.
  3. Déterminer les coordonnées de en et de en−2 dans la base ℬ.
  4. Justifier de même que e2k−n ∈ F.
  5. Pour tout j ∈ ⟦0 ; n⟧, exprimer la dérivée fj′ en fonction des vecteurs de la base ℬ.
  6. Montrer que l’application D : f ↦ f′ définit un endomorphisme de F et donner sa matrice représentative dans la base ℬ.
  7. Soit λ ∈ R. Quelles sont les applications f dérivables sur R vérifiant f′ = λf ? (On pourra calculer dans ce cas la dérivée de x ↦ exp(−λx) f(x).)
  8. Montrer que les valeurs propres de D sont les entiers de l’ensemble {±n, ±(n − 2), … , ±(n − 2p)} où p = ⌊n/2⌋ (partie entière de n/2) et qu’un vecteur propre associé à la valeur propre de ε(n − 2k) pour k ∈ ⟦0 ; p⟧ et ε ∈ {−1 ; 1} est l’application eε(n−2k).
  9. La matrice An est-elle diagonalisable ?
  10. Montrer que la transposée de la matrice ligne 1/2n(1, (1n), (2n), … , (n−1n), 1) est l’unique vecteur propre de An pour la valeur propre n et dont la somme des coefficients vaut 1.

Le questionnaire aveugle

Un sondeur souhaite évaluer la consommation de drogue dans un campus universitaire. Afin que les étudiants puissent répondre en toute sincérité sans que leur réponse ne leur soit préjudiciable, le sondeur a préparé une série d’enveloppes indiscernables. Certaines enveloppes contiennent l’affirmation « Vous avez déjà consommé de la drogue » tandis que les autres contiennent sa négation « Vous n’avez jamais consommé de drogue ». Chaque étudiant répondant à l’enquête tire donc une enveloppe au hasard, dit au sondeur si la phrase est vraie, puis remet l’enveloppe dans la série sans que le sondeur ne puisse l’identifier.

On notera p la proportion de personnes ayant déjà consommé de la drogue et q la proportion d’enveloppes avec la phrase affirmative. Pour chaque étudiant interrogé, noté i ∈ ⟦1, n⟧, on notera Di le fait que l’étudiant ait effectivement consommé de la drogue, Ai le fait qu’il ait pris une enveloppe avec la phrase affirmative, et Vi le fait qu’il dise que la phrase est vraie.

Probabilités

  1. Soit i ∈ ⟦1, n⟧. Exprimer Vi en fonction de Di et Ai.
    En déduire une expression de P(Vi) en fonction de p et q.
  2. On note X le nombre de sondés qui répondent que la phrase est vraie. Quelle est la loi de X ?
    Préciser son espérance et sa variance.
  3. On suppose que p ∈ ]0 ; 1[. Justifier que P(Vi) > 0 puis calculer PVi(Di) en fonction de p et q.
    Cette probabilité conditionnelle peut-elle valoir 0 ou 1 ?
  4. Le réel q étant fixé, déterminer l’ensemble des valeurs de la fonction t ↦ q/qt + (1 − q)(1 − t) lorsque t ∈ ]0 ; 1[.
  5. En déduire l’ensemble des valeurs de q ∈ [0 ; 1] pour lesquelles pour tout p ∈ ]0 ; 1[ on a PVi(Di) ≤ 2 P(Di).
  6. Pour quelles valeurs de q ∈ [0 ; 1] a-t-on aussi pour tout p ∈ ]0 ; 1[, PVi(Di) ≤ 2 P(Di).

Estimateur

On suppose désormais que q ≠ 1/2. Le sondeur propose d’estimer p à l’aide de Zn = n(q − 1) + X/n(2q − 1).

  1. Calculer E(Zn). Montrer que lorsque n tend vers +∞, Zn converge en probabilité vers une limite à préciser.
  2. Calculer la variance de Zn.
  3. Montrer que lorsque n tend vers +∞, le produit √n(Zn − p) converge en loi et préciser la loi limite.
  4. Le sondeur souhaite choisir q pour que la variance de Zn soit aussi petite que possible dans le pire des cas, la vraie valeur de p étant inconnue a priori.
    Déterminer les variations et limites de v : p ↦ V(Zn) avec p ∈ [0 ; 1] pour déterminer la variance de Zn dans le pire des cas, c’est-à-dire M(q) = sup {v(p), p ∈ [0 ; 1]}.
  5. Pour quelle valeur de q ∈ [0 ; 1] ∖ {1/2} la valeur M(q) est-elle minimale ?
  6. Déduire de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev un intervalle de confiance de probabilité de couverture 1 − α pour p de la forme [Zn − tα,n,q, Zn + tα,n,q] où tα,n,q est un réel positif à préciser, ne dépendant que de α,n et q.