Devoir non surveillé no 2

Étude de fonction définie par une intégrale

On pose pour tout xD = ]0 ; +∞[ ∖ {1} G(x) = xx2 dt/ln(t).

  1. Justifier que la fonction G est bien définie et dérivable sur le domaine annoncé.
  2. Étudier les variations de G.
  3. Déterminer les limites de G en 0 et en +∞.
  4. Montrer que la dérivée G admet un développement limité à l’ordre 1 en 1 et en déduire que la fonction G admet une limite finie à gauche et à droite en 1.
  5. Montrer que pour tout xD on a G(x) − G(1 / x) = xx2 t2 − 1/t2 ln(t) dt.
    En déduire que G a la même limite à gauche et à droite en 1.
  6. Appliquer le changement de variable u = ln(t) à l’expression de G puis en déduire que pour tout xD on a G(x) = 12 xv dv/v.
  7. En déduire limx→1 G(x), puis donner un développement limité à l’ordre 2 de G en 1.

Matrice aléatoire

On considère un échantillon de quatre variables de Bernoulli (X1, X2, X3, X4) à valeurs dans {0 ; 1} et de même paramètre p ∈ ]0 ; 1[, avec lesquelles on forme une matrice M = X1X2X3X4.

  1. Dénombrer les matrices carrées de taille 2 dont chaque coefficient vaut 0 ou 1.
  2. Lister parmi ces matrices celles qui sont inversibles.
  3. Calculer la probabilitié que M ait pour coefficients 1101 .
  4. Calculer plus généralement la probabilité que M soit inversible.
  5. Déterminer la valeur de p qui maximise la probabilité précédente.

Encadrez les résultats et numérotez les copies.