On pose
pour tout x ∈ D = ]0 ; +∞[ ∖ {1}G(x)
= ∫xx2dt/ln(t)).
Justifier que la fonction G est bien définie
et dérivable sur le domaine annoncé.
Étudier les variations de G.
Déterminer les limites de G en 0
et en +∞.
Montrer que la dérivée G′ admet
un développement limité à l’ordre 1 en 1
et en déduire que la fonction G
admet une limite finie à gauche et à droite en 1.
Montrer que pour tout x ∈ D
on a G(x) − G(1 / x)
= ∫xx2t2 − 1/t2 ln(t))
dt.
En déduire que G a la même limite à gauche
et à droite en 1.
Appliquer le changement de variable
u = ln(t)
à l’expression de G
puis en déduire que pour tout x ∈ D
on a G(x)
= ∫12xv dv/v).
En déduire limx→1G(x),
puis donner un développement limité à l’ordre 2
de G en 1.
Matrice aléatoire
On considère un échantillon de quatre variables de Bernoulli (X1, X2, X3, X4) à valeurs dans {0 ; 1} et de même paramètre p ∈ ]0 ; 1[, avec lesquelles on forme une matrice
M = [[X1 ;X2 ;]][X3 ;X4 ;]].
Dénombrer les matrices carrées de taille 2 dont chaque coefficient vaut 0 ou 1.
Lister parmi ces matrices celles qui sont inversibles.
Calculer la probabilitié que M ait pour coefficients
[[1 ;1 ;]][0 ;1 ;]]
.
Calculer plus généralement la probabilité que M soit inversible.
Déterminer la valeur de p qui maximise la probabilité précédente.