Exercices sur la covariance de variables aléatoires réelles discrètes

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Exercice
Soit (λ, μ) ∈ (R+∗)2. On considère deux variables aléatoires de Poisson indépendantes X ↝ 𝓟(λ) et Y ↝ 𝓟(μ). Montrer que la somme S = X + Y suit aussi une loi de Poisson et calculer la loi conditionnelle de X sachant S. Calculer aussi Cov(X, S).
Exercice
Soient X et Y deux variables aléatoires de Bernoulli sur {0 ; 1} indépendantes et de même paramètre p ∈ ]0 ; 1[. Déterminer la loi conjointe et les lois marginales de S = X + Y et D = X − Y. Calculer Cov(S, D) et déterminer si S et D sont indépendantes.
Exercice
Soit n ∈ N∗. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y de même loi uniforme sur ⟦1 ; n⟧. Déterminer la loi conjointe et les lois marginales de L = min(X, Y) et M = max(X, Y). Calculer Cov(L, M) et déterminer si L et M sont indépendantes.
Exercice
Soit X une variable aléatoire géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. Déterminer la loi conjointe et les lois marginales du quotient Q et du reste R de la division euclidiennne de X + 1 par 2. Calculer Cov(Q, R) et déterminer si Q et R sont indépendantes.
Exercice
Soit n ∈ N∗. On considère une variable aléatoire X ↝ 𝒰(⟦1 ; n⟧ et une variable aléatoire Y à valeurs dans ⟦1 ; n⟧ telle que pour tout (j, k) ∈ ⟦1 ; n⟧2, la probabilité conditionnelle s’écrive PX=j(Y = k) = 1/j si j ≥ k, et vaille 0 sinon.
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de Y.
Exercice : Les trois portes

On considère trois portes numérotées de 1 à 3. On ouvre l’une des portes au hasard de façon équiprobable et on note X son numéro. Puis deux personnes choisissent indépendamment l’une des deux portes restantes de façon équiprobable. On note Y et Z les numéros respectifs des portes qu’ils ont choisies. On a donc X ≠ Y et X ≠ Z mais Y et Z peuvent éventuellement coïncider.

  1. Déterminer la loi de Y sachant X = 1.
  2. Déterminer la loi de Y.
  3. Calculer P(Y = Z = 1). Les variables Y et Z sont-elles indépendantes ?
  4. Calculer la covariance de Y et Z.
Exercice
Probabilités et statistiques, énoncé 503, C. Degrave et D. Degrave, Bréal 1990
Soit (Xn) une suite de variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose pour tout n ∈ N, Yn = Xn Xn+1.
  1. Pour tout n ∈ N, déterminer la loi de Yn.
  2. Pour tout n ∈ N, calculer l’espérance et la variance de Sn = ∑k=1n Yk.
Exercice
HEC 2019 exercice 2 question 5
Soit n ≥ 2 et Z ↝ 𝒢(1 − 1/n). Déterminer la loi d’une variable aléatoire discrète Y vérifiant pour tout k ≥ 1, pour tout j ∈ ⟦0, k⟧, PZ=k(Y = j) = 1/(k + 1).

Problèmes

Problème
On considère une urne contenant k boules jaunes et on la complète avec un nombre N aléatoire de boules mauves, toutes indiscernables au toucher. On suppose que N suit une loi de Poisson de paramètre λ ∈ R+∗ et on tire successivement et avec remise des boules de l’urne jusqu’à ce qu’on obtienne une boule jaune. On note alors T le nombre de tirages effectués.
  1. Que se passe-t-il dans le cas particulier N = 0 ?
  2. Pour tout n ∈ N∗, quelle est la loi conditionnelle de T sachant N = n ?
  3. Calculer l’espérance de T.
  4. On réitère l’expérience sans changer la composition de l’urne (et après avoir remis la boule jaune). Calculer la covariance entre T et le nouveau nombre de tirages T′ effectués.

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