Concours blanc no 2

Épreuve en 4 h sans calculatrice ni document autorisé.

Toutes les copies doivent être numérotées et porter le nom de l’élève. Les résultats doivent être encadrés.

Développement asymptotique

On considère la suite (xn)nN définie par x0 ∈ ]0 ; 1[ et pour tout nN, xn+1 = xnxn2.

Partie 1

  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f : xxx2 définie sur [0 ; 1] à valeurs dans R.
    1. Montrer que la suite (xn)nN est monotone et convergente.
    2. Déterminer la limite de la suite (xn)nN.
    1. Établir pour tout nN, l’encadrement 0 < xn1/n+1.
    2. Retrouver ainsi la limite de la suite (xn)nN
  2. Soit (vn)nN la suite définie pour tout nN par vn = nxn.
    1. Montrer que la suite (vn)nN est croissante.
    2. En déduire que la suite (vn)nN converge vers un réel qu’on ne demande pas de calculer.
    3. Montrer que 0 < ℓ ≤ 1.
  3. On considère la suite (wn)nN définie pour tout nN par wn = n (vn+1vn).
    1. Montrer que la série de terme général wn/n est convergente.
    2. Exprimer pour tout nN le terme wn en fonction de xn et vn.
    3. En déduire que la suite (wn)nN converge vers ℓ (1 − ℓ).
    4. À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que ℓ = 1.
    5. Donner un équivalent simple de xn quand n tend vers +∞.

Partie 2

  1. Soit (un)nN une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général un soit divergente.
    Soit (yn)nN une suite réelle convergente. On pose L = limn→+∞ yn et pour tout nN, Sn = k=1n uk.
    1. Établir pour tout entier n0N et pour tout entier n > n0, l’inégalité suivante : |1/Sn (k=1 n uk yk)L|1/Sn k=1n0 uk |ykL| + 1/Sn k=n0+1 n uk |ykL|.
    2. En déduire que limn→+∞ 1/Sn k=1 n uk yk = L.
  2. Soit (zn)nN et (tn)nN deux suites réelles et γ un réel tels que On pose pour tout nN, an = znzn−1 et bn = tntn−1/znzn−1.
    1. Montrer que la suite (an)nN vérifie les propriétés de la suite (un)nN
    2. En appliquant le résultat de la question 2.1 aux suites (an)nN et (bn)nN, montrer que limn→+∞ tn/zn = γ.
    1. Établir l’équivalent suivant : n(1 − nxn)/ln(n) n→+∞ 1/xnn/ln(n).
    2. Montrer que limn→+∞ 1/xn+11/xn − 1/ln(1 + 1/n) = 1.
    3. En déduire, en utilisant le résultat de la question 2.2 avec tn = 1/xnn et zn = ln(n), l’existence d’une suite (εn)n≥2 de limite nulle telle que n(1 − nxn)/ln(n) = 1 − εn.
    4. En déduire finalement le développement asymptotique suivant : xn = 1/nln(n)/n2 + ln(n)/n2 εn.

Multiplication par une matrice diagonalisable

Dans tout l’exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 et A et B sont deux matrices de n(R) diagonalisables.

Pour tout M ∈ ℳn(R) on note tM sa transposée.

On définit trois endomorphismes de n(R), en posant pour tout M ∈ ℳn(R) par fA(M) = AM et gB(M) = MB, puis hA,B = fAgB.

    1. Soit λ une valeur propre de A et XRn un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
      Montrer que X tX est un vecteur propre de fA et donner la valeur propre associée.
    2. Soit θ une valeur propre de fA. Montrer que la matrice AθIn n’est pas inversible.
    3. Déduire de ce qui précède que Sp(A) = Sp(fA).
    4. Montrer que Sp(tB) = Sp(B). En déduire que Sp(B) = Sp(gB).
    1. Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé, μ une valeur propre de tB et Y un vecteur propre associé. Montrer que X tY est un vecteur propre de hA,B et donner la valeur propre associée.
    2. Soit β une valeur propre de hA,B et M un vecteur propre associé.
      Montrer, en utilisant le fait que B est diagonalisable, qu’il existe un vecteur propre V de B associé à une valeur propre μ tel que MV ≠ 0.
      En déduire qu’il existe un scalaire λ ∈ Sp(A) tel que β = λμ.
    3. Déduire de ce qui précède que Sp(hA,B) = {λμ, λ ∈ Sp(A), μ ∈ Sp(B)}.
    4. Démontrer l’équivalence suivante : Sp(A) ∩ Sp(B) = ∅ ⇔ hA,B est injective.
  1. Soit (X1, X2, … , Xn) une base de Rn et V un vecteur de Rn.
    On note pour tout j ∈ ⟦1 ; n, Xj = p1,jp2,jpn,j et on pose P = (pi,j)1≤i,jn ∈ ℳn(R) avec V = v1v2vn.
    1. Déterminer en fonction des réels pi,j et vi, les éléments (l1, l2, … , ln) de la matrice tVP.
    2. En déduire qu’il existe une unique famille de vecteurs (Vi) dans Rn telle que pour tout i ∈ ⟦1 ; n, tVi Xi = 1 et pour tout (i, j) ∈ ⟦1 ; n2 tel que ij, on ait tVi Xj = 0.
    3. En supposant que la base (X1, X2, … , Xn) est constituée de vecteurs propres de A, si (Y1, Y2, … , Yn) est une base constituée de vecteurs propres de B, montrer que la famille (Xi tYj)1≤i,jn constitue une base de n(R) et en déduire que hA,B est diagonalisable.
  2. Dans le cas où n = 2, A = 1243 et B = 1111, montrer que ces deux matrices sont diagonalisables et déterminer leurs vecteurs propres, puis en déduire une base de vecteurs propres pour hA,B en précisant les valeurs propres associées.

Variables aléatoires avec une loi conditionnelle

Soit (Xn)nN une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P), indépendantes et suivant toutes la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0 ; 1[. On pose q = 1 − p.

Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, indépendante des variables aléatoires Xn.

Pour tout ω ∈ Ω, on pose Y(ω) = i=1N(ω) Xi et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P).

Pour tout nN, on pose Sn = i=1n Xi.

On pourra utiliser sans justification la formule suivante : pour tout (r, s) N2 avec rs, on a j=rs (rj) = (r+1s+1).

  1. Montrer que la loi de S2 est donnée par S2(Ω) = N ∖ {0 ; 1} et pour tout k ≥ 2, P(S2 = k) = (k − 1) p2 qk−2.
  2. Déterminer pour tout entier n ≥ 2, la loi de X1 conditionnellement à l’évènement {S2 = n}.
    1. Déterminer Sn(Ω).
    2. En utilisant la formule de l’énoncé et à l’aide d’une relation de récurrence sur n, montrer que pour tout kSn(Ω), P(Sn = k) = (n−1k−1) pn qkn.
    1. En utilisant le fait que Sn−1 est une variable aléatoire, établir l’égalité k=n+∞ (n−2k−2) qkn = 1/pn−1.
    2. Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et pour tout entier kn, on a n − 1/k − 1 (n−1k−1) = (n−2k−2) .
    3. Soit Rn la variable aléatoire définie par Rn = n − 1/Sn − 1. Montrer que l’espérance de Rn est égale à p.
    1. Déterminer Y(Ω).
    2. Pour tout couple (k, n) ∈ (N)2, montrer que P({Y = k} ∩ {N = n}) = P(Sn = k) × P(N = n).
    3. Pour tout couple (k, n) ∈ (N)2 tel que k < n, donner la valeur de P({Y = k} ∩ {N = n}).
    4. Déduire des questions précédentes que pour tout kN, P(Y = k) = n=1k P(Sn = k) × P(N = n).
  3. On suppose dans cette question que N suit la loi géométrique de paramètre p. Montrer que Y suit la loi géométrique de paramètre p2.
  4. On suppose réciproquement que Y suit la loi géométrique de paramètre p2.
    1. Montrer que P(N = 1) = p.
    2. Montrer également que P(N = 2) = pq.
    3. À l’aide d’une démonstration par récurrence, montrer que N suit la loi géométrique de paramètre p.

Analyse

On considère la fonction g : xx2 ex2 définie sur R.

  1. Étudier la parité, les variations et les limites de g.
  2. Justifier que pour tout xR+ on a g(x) ≤ x.
  3. Montrer que g est intégrable sur R+ et calculer 0+∞ g(t) dt. On pourra utiliser un changement de variable u = 2 t.
  4. En déduire qu’il existe aR tel que la fonction f = a × g soit à densité sur R+ et préciser la valeur de a.
  5. On considère une variable aléatoire X positive et de densité f sur R+. Justifier que X admet une espérance et une variance et les calculer, puis en déduire un intervalle de fluctuation à 90 %.
  6. Soit λR+∗. Déterminer la loi de Y = λX et proposer un estimateur sans biais de λ.