Devoir surveillé n^o 1

Entropie

On définit pour tout u ∈ R^+∗, h(u) = u ln(u) et pour tout u ∈ R⁻, h(u) = 0.

Étude de fonction

1. Montrer que la fonction h est continue sur R⁺.
2. Justifier que pour tout u > 0 on a h(u) ≥ u − 1 avec égalité si et seulement si u = 1.
3. Représenter la courbe de la fonction h ainsi que sa tangente au point d’abscisse 1.

Entropie d’une variable aléatoire discrète

Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans X(Ω) = {x₁, … , x_n} avec pour tout i ∈ ⟦1, n⟧, p_i = P(X = x_i), alors l’entropie de X est définie par H(X) = − ∑_i=1ⁿ h(p_i) = − ∑_i=1ⁿ p_i ln(p_i).

On remarquera que cette définition ne dépend que des probabilités et pas des valeurs de la variable aléatoire X.

On remarquera aussi que le mot « entropie » ne commence pas par la lettre « H », mais que la lettre grecque êta s’écrit « Η ». Cela dit, le mot grec « Εντροπία » commence en fait par la lettre epsilon et non pas par êta.

1. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0 ; 1[, rappeler l’ensemble des valeurs X(Ω) et les probabilités associées puis calculer son entropie.
2. Justifier que la fonction φ : t ↦ −t ln(t) + (t − 1) (t + ln(1 − t)) est deux fois dérivable sur ]0 ; 1[ et calculer sa dérivée et sa dérivée seconde. Préciser aussi φ′(1/2) et en déduire le tableau de variations de φ avec ses limites.
3. En déduire que l’entropie d’une variable de Bernoulli est supérieure à sa variance.
4. Si X suit la loi uniforme sur ⟦1, n⟧, calculer son entropie et comparer sa valeur avec celle de sa variance.
5. Montrer, en utilisant l’inégalité obtenue dans la première partie, que pour toute variable aléatoire discrète avec n valeurs, on trouve H(X) ≤ ln(n) avec une égalité stricte si X n’est pas uniforme.

Suite implicite

1. Pour tout entier n ≥ 2, montrer que la fonction g_n : x ↦ xⁿ + x − 1 est croissante sur R⁺, puis montrer que l’équation xⁿ + x − 1 = 0 admet une unique solution α_n entre 0 et 1.
2. Soit n ≥ 2. Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a g_n(x) ≥ g_n+1(x). En déduire que g_n(α_n+1) ≥ 0 puis α_n+1 ≥ α_n.
3. Montrer que la suite (α_n) converge. On note ℓ sa limite.
4. Supposons ℓ < 1. Montrer que la suite (α_nⁿ) converge vers 0 puis en déduire la limite de (g_n(α_n)).
5. En déduire que ℓ = 1.
6. On pose pour tout n ∈ N u_n = 1 − α_n. Justifier l’équivalent n ∼_n→+∞ −ln(u_n)/u_n).
7. En déduire que la suite (u_n) est prépondérante par rapport à (1/n).

Puissance de la tangente

Pour tout n ∈ N on pose I_n = ∫₀^π/4 tanⁿ(t) dt et E_n = Vect(1, tan, tan², … , tanⁿ).

Analyse de suite

1. Calculer I₀, I₁, I₂.
2. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; π/4] on a tan(t) ≤ 4t/π. En déduire que lim_n→+∞ I_n = 0.
3. Pour tout n ∈ N, pour tout t ∈ [0 ; π/4], calculer ∑_k=0ⁿ tan^k(t). Peut-on en déduire une expression de ∑_k=0ⁿ I_k ?

Représentation matricielle

1. Pour tout n ∈ N, justifier que E_n est un espace vectoriel de dimension finie et préciser cette dimension.
2. Pour tout n ∈ N calculer la dérivée de tanⁿ puis justifier qu’il existe un unique polynôme P tel que (tanⁿ)′ = P(tan) dont on précisera l’expression.
   L’espace E_n est-il stable par dérivation ?
3. Représenter les vecteurs P₀, P₁, P₂ et P₃ dans la base canonique des polynômes.
4. En déduire la matrice représentative de D₃ : ∑_i=0³ a_i Xⁱ ↦ ∑_i=0³ a_i P_i entre les bases canoniques des polynômes.
5. Préciser le noyau de D₃ et représenter son image à l’aide d’équations cartésiennes.
6. Montrer que tout polynôme de tangentes admet une primitive s’écrivant comme une combinaison de puissances de tangentes, d’une primitive de tan et de la fonction identité.