Les définitions et résultats répertoriés en tête de chaque chapitre sont susceptibles d’être demandés en interrogation de cours ou en colle. En question de cours en début de colle, sauf indication contraire, chaque propriété doit être accompagnée de sa démonstration.
Cette semaine complétant celle de la semaine du 10 au 12 mai, le programme de colle est dupliqué.
Exercices sur les nombres complexes : calculs élémentaires et surtout utilisation des formules d’Euler. Il est possible de guider un élève vers la résolution algébrique de z2 = a + ib.
Exercices sur les nombres complexes : calculs élémentaires et surtout utilisation des formules d’Euler. Il est possible de guider un élève vers la résolution algébrique de z2 = a + ib.
Exercices sur les nombres complexes : seuls les calculs élémentaires et la résolution des équations du second degré à coefficients réels ont été vus en classe. Il est possible de guider un élève vers la résolution algébrique de z2 = a + ib.
Exercices sur les séries : calcul série géométrique ou dérivée, exponentielle ou télescopique ; détermination de la nature avec aide pour la comparaison (les équivalents sont hors programme et la négligeabilité est au programme de 2e année).
Les élèves sont en concours blanc la semaine du 5 avril, juste avant deux semaines de vacances anticipées, et de nouveau à la rentrée la semaine du 26 avril. Il n’y aura donc pas de colles avant la semaine de retour en présentiel le 3 mai.
Les colles ne pourront avoir lieu en présence au lycée puisque les élèves sont à distance jusqu’au 5 avril. Certaines colles pourront être maintenues en fonction des disponibilités et des ressources des uns et des autres. Les informations seront transmises dès que possible.
Exercices sur l’intégration de fonction continue sur un segment : recherche de primitive, calcul direct, intégration par partie, changement de variable avec indication, démonstration d’inégalités. Les sommes de Riemann sont hors programme.
Exercices sur les séries : calcul série géométrique ou dérivée, exponentielle ou télescopique ; détermination de la nature avec aide pour la comparaison (les équivalents sont hors programme et la négligeabilité est au programme de 2e année).
Les colles ne pourront avoir lieu en présence au lycée puisque les élèves sont à distance jusqu’au 5 avril. Certaines colles pourront être maintenues en fonction des disponibilités et des ressources des uns et des autres. Les informations seront transmises dès que possible.
Travail personnel
Exercice 1 sur les séries : première série pour tout le monde, les deux suivantes pour ⧗♣, les deux suivantes pour ♜, les deux suivantes pour (★)
Exercices sur l’intégration de fonction continue sur un segment : recherche de primitive, calcul direct, intégration par partie, changement de variable avec indication, démonstration d’inégalités. Les sommes de Riemann sont hors programme.
Exercices sur les séries : calcul série géométrique ou dérivée, exponentielle ou télescopique ; détermination de la nature avec aide pour la comparaison (les équivalents sont hors programme et la négligeabilité est au programme de 2e année).
Exercices sur l’intégration de fonction continue sur un segment : recherche de primitive, calcul direct, intégration par partie, changement de variable avec indication, démonstration d’inégalités. Les sommes de Riemann sont hors programme.
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme, racine cubique, sinus, cosinus, tangente, arc tangente) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur l’intégration de fonction continue sur un segment : recherche de primitive, calcul direct, intégration par partie, démonstration d’inégalités. Le changement de variable est au programme mais doit être très guidé : son utilisation n’a pas encore été suffisamment travaillée en classe. Les sommes de Riemann sont hors programme.
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme, racine cubique, sinus, cosinus, tangente, arc tangente) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur les matrices avec recherche du noyau et de l’image de l’application linéaire associée dans l’espace des colonnes, utilisation éventuelle du théorème du rang (les matrices équivalentes n’ont pas encore été vues)
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme, racine cubique) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur les fonctions avec limites,
y compris les comparaisons de croissance (les asymptotes obliques doivent être fournies),
et utilisation éventuelle des théorèmes d'analyse globale (TVI, théorème des bornes,
accroissements finis)
Exercices sur les matrices avec recherche du noyau et de l’image de l’application linéaire associée dans l’espace des colonnes, utilisation éventuelle du théorème du rang (les matrices équivalentes n’ont pas encore été vues)
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme, racine cubique) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur les fonctions avec limites,
y compris les comparaisons de croissance (les asymptotes obliques doivent être fournies),
et utilisation éventuelle des théorèmes d'analyse globale (TVI, théorème des bornes,
accroissements finis)
Exercices sur les probabilités avec un univers fini, sans variable aléatoire, mais éventuellement avec probabilité conditionnelle et notion d’indépendance
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme, racine cubique) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur les fonctions avec limites (les asymptotes obliques doivent être fournies), sans comparaison de croissance, utilisation éventuelle des théorèmes d'analyse globale (TVI, théorème des bornes, accroissements finis)
Exercices sur les probabilités avec un univers fini, sans variable aléatoire, mais éventuellement avec probabilité conditionnelle et notion d’indépendance
Montrer qu'il existe une unique solution à l'équation ln(x) + x = 0 et que cette solution appartient à l'intervalle ]1/e, 1[ (⧗♣)
Déterminer le nombre de solutions de l'équation
ex = x2 (♜)
Vérifier que l'intervalle ]0, 1[ est stable par la fonction f définie par f(x) = e−x/2, puis que cet intervalle contient l'unique point fixe de f, noté α.
Montrer que pour tout (x, y) ∈ ]0, 1[2
on a |f(x) − f(y) ≤ |x − y/2.
En déduire que toute suite définie par la fonction de récurrence f converge vers α
Soit u0 ∈ R
et pour tout n ∈ N,
un+1
= e−un.
Montrer que pour tout n ≥ 2 on a
un ∈ ]0, 1[, (★)
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme, racine cubique) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur les fonctions avec limites (les asymptotes obliques doivent être fournies), sans comparaison de croissance, utilisation éventuelle des théorèmes d'analyse globale (TVI, théorème des bornes, accroissements finis)
Exercices sur les matrices (sans application matricielle) : le calcul de la matrice inverse a été présenté mais pas encore très travaillé. Il est possible cependant d’en faire pendant la colle.
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Exercices sur les matrices (sans application matricielle) : le calcul de la matrice inverse a été présenté mais pas encore très travaillé. Il est possible cependant d’en faire pendant la colle.
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme) : domaine, parité, dérivée, variations et limites
Cette semaine, il n’y a pas de cours ni de colle lundi et vendredi en raison des activités de la semaine culturelle. Des colles facultatives sont organisées sur les créneaux habituels de mardi à jeudi (et jeudi à 14h) sur programme au choix des élèves, sans démonstration de cours (même si des questions de restitutions de cours peuvent toujours être demandées au choix du colleur).
Il n’y a pas de cours ni de colles cette semaine en raison du 1er concours blanc.
Des colles facultatives sur programme au choix et sans questions de cours pourront avoir lieu la semaine prochaine entre mardi 15 et jeudi 17 décembre.
Pour cette dernière semaine avant le concours blanc, il n’y a pas de nouvelle démonstration au programme de colle.
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme) : domaine, parité, dérivée, variations (limites non exigibles)
Étude de fonction réelle d’une variable réelle avec domaine, parité, éventuellement points fixes. Les variations doivent pouvoir être obtenues par composition ou par dérivation sans composée (la formule n’a pas encore été vue) de fonctions de référence (donc avec somme, produit, quotient uniquement) : polynômes, racine carrée, exponentielle et logarithme. Les fonctions trigonométriques n’ont pas été vues par tous.
Exercices élémentaires sur les suites (variations, terme général par récurrence, suites arithmético-géométriques) avec calcul de limite pour des expressions explicites, utilisant éventuellement la comparaison de croissance. Il est possible d’aborder des suites récurrentes, mais aucune technique n’est exigible au programme en dehors des suites arithmético-géométriques. Les suites adjacentes sont hors programme.
Exercices sur les vecteurs de composantes réelles : détermination si une famille de vecteurs est libre, décomposition d’un vecteur sur une famille de vecteurs. La notion de famille génératrice n’a pas été travaillée, mais on peut demander à résoudre un système avec un second membre littéral.
Questions de cours supplémentaires
Colinéarité, équation de produit nul
Cours
Vecteurs réels : famille génératrice, sous-espace engendré.
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme) : domaine, parité, dérivée, variations (limites non exigibles)
Étude de fonction réelle d’une variable réelle avec domaine, parité, éventuellement points fixes. Les variations doivent pouvoir être obtenues par composition ou par dérivation sans composée (la formule n’a pas encore été vue) de fonctions de référence (donc avec somme, produit, quotient uniquement) : polynômes, racine carrée, exponentielle et logarithme. Les fonctions trigonométriques n’ont pas été vues par tous.
Exercices élémentaires sur les suites (variations, terme général par récurrence, suites arithmético-géométriques) avec calcul de limite pour des expressions explicites, utilisant éventuellement la comparaison de croissance. Il est possible d’aborder des suites récurrentes, mais aucune technique n’est exigible au programme en dehors des suites arithmético-géométriques. Les suites adjacentes sont hors programme.
Questions de cours supplémentaires
Limite de suites monotones, théorème de comparaison
Cours
Analyse locale : dérivée de la réciproque, d’une composée et étude locale
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme) : domaine, parité, dérivée, variations (limites non exigibles)
Étude de fonction réelle d’une variable réelle avec domaine, parité, éventuellement points fixes. Les variations doivent pouvoir être obtenues par composition ou par dérivation sans composée (la formule n’a pas encore été vue) de fonctions de référence (donc avec somme, produit, quotient uniquement) : polynômes, racine carrée, exponentielle et logarithme. Les fonctions trigonométriques n’ont pas été vues par tous.
Exercices élémentaires sur les suites (variations, terme général par récurrence, suites arithmético-géométriques) avec calcul de limite pour des expressions explicites. Il est possible d’aborder des suites récurrentes, mais aucune technique n’est exigible au programme en dehors des suites arithmético-géométriques. Les comparaisons de croissance n’ont encore pas été détaillées et les suites adjacentes sont hors programme.
Questions de cours supplémentaires
Limite de suites monotones, théorème de comparaison
Chaque colle commencera par la demande des informations sur l’une des fonctions de référence (pour l’instant : valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, exponentielle, logarithme) : domaine, parité, dérivée, variations (limites non exigibles)
Étude de fonction réelle d’une variable réelle avec domaine, parité, éventuellement points fixes. Les variations doivent pouvoir être obtenues par composition ou par dérivation sans composée (la formule n’a pas encore été vue) de fonctions de référence (donc avec somme, produit, quotient uniquement) : polynômes, racine carrée, exponentielle et logarithme. Les fonctions trigonométriques n’ont pas été vues par tous.
Exercices élémentaires sur les suites (variations, terme général par récurrence, suites arithmético-géométriques). Les opérations sur les limites n’ont pas encore été revues.
Résolution de système à deux inconnues et sans paramètre d’abord (ces restrictions peuvent être levées si la résolution ne pose pas de problème dans ces cas simples)
Étude de fonction réelle d’une variable réelle avec domaine, parité, éventuellement points fixes. Les variations doivent pouvoir être obtenues par composition ou par dérivation sans composée (la formule n’a pas encore été vue) de fonctions de référence (donc avec somme, produit, quotient uniquement) : polynômes, racine carrée, exponentielle et logarithme. Les fonctions trigonométriques n’ont pas été vues par tous.
Questions de cours supplémentaires
Formules, domaine, parité, variations, dérivée et courbe des fonctions identité, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue.
Résolution de système à deux inconnues et sans paramètre d’abord (ces restrictions peuvent être levées si la résolution ne pose pas de problème dans ces cas simples)
Exercice de dénombrement se ramenant à des choix de combinaisons sans répétitions, arrangements et liste
À la marge, démonstration d’une inclusion ou de l’égalité de deux ensembles (comme dans la démonstration du cardinal de la réunion ou pour les lois de De Morgan).
Questions de cours supplémentaires
Formule du binôme de Newton, opérations sur les puissances
Cours
Nombres réels : inégalité de Bernoulli, intervalles, bornes, racine carrée, résolution des équations du second degré, valeur absolue
(La démonstration de l’expression des coefficients binomiaux avec les factorielles n’a pas pu être suffisamment détaillée en classe, elle est donc reportée à la semaine suivante. En compensation, le produit d’une constante enrichit la première question de colle.)
Calculs avec des coefficients binomiaux hors binôme de Newton (les formules du cours doivent être connues, mais elles n’ont pas encore été travaillées en exercice, il y aura sans doute besoin de guider les élèves pour les colles en début de semaine)
À la marge, démonstration d’une inclusion ou de l’égalité de deux ensembles (comme dans la démonstration du cardinal de la réunion ou pour les lois de De Morgan).
Questions de cours supplémentaires
Formules sur les coefficients binomiaux dans le cours sur le dénombrement (sauf relation diagonale)
Cours
Nombres réels : opérations, sommes et produits, relation d’ordre
Distribution de la fiche d'exercices sur les réels,
méthodes de résolution d’équation avec radical
et justification de comparaison d’ordre avec des expressions utilisant des radicaux.
Il n’y a pas de matériel obligatoire mais l’assiduité en classe implique a minima
une prise de notes donc du matériel d’écriture efficace.
Chaque élève est donc supposé disposer à chaque séance d’un stylo à encre (effaçable ou non),
de crayons gris et de quelques couleurs, d’une règle, de feuilles pour le cours
et pour les interrogations écrites.
Pour les exercices, il est vivement recommandé de se munir d’un cahier grand format,
permettant la réalisation de figures soignées et le suivi d’une séance à l’autre.
Les calculatrices sont sans utilité car interdites au concours.
L’usage d’un ordinateur portable (a fortiori sous forme de tablette
ou de téléphone) n’est a priori pas adaptée à la prise de notes
de mathématiques en classe.