Arithmétique
Multiplication
Calculer les produits suivants :
- 23 × 91
- 3007 × 64
- 999 × 17
- 37 × 66
- 30 × 170
- 256 × 3125
Division euclidienne
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de :
- 321 par 7
- 123 par 13
- 1000 par 11
- 998 par 999
- 3000 par 12
Décomposition
Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers suivants.
- 321
- 252
- 111
- 512
- 91
- 101
- 132
- 891
- 64
- 140
- 222
- 40
- 392
- 192
- 72
Puissances
Simplifier les expressions suivantes comme produits de puissances de nombres premiers.
- 127 × 153
- (87)6
Parité
Démontrer que tout entier a la même parité que son carré.
Récurrence
Démontrer les formules suivantes :
- pour tout entier n ≥ 4, n2 ≤ 2n
- pour tout entier n ≥ 2, on a 3n + 4n ≤ 5n
- pour tout n ∈ N, 9n − 5n est un multiple de 4 Dans l’hérédité, il suffit d’écrire 9n − 5n sous la forme 4k et de calculer 9n+1 − 5n+1 en remplaçant 9n à l’aide de l’égalité précédente, puis de factoriser le résultat.
- pour tout n ∈ N, n × 2n ≤ 3n
- pour tout n ∈ N∗, le dernier chiffre de 5n est 5. Le dernier chiffre de 5n est 5 si et seulement s’il existe q ∈ N tel que 5n = 10 × q + 5. Dans l’hérédité, il suffit de calculer 5n+1 et de chercher une décomposition analogue.
Symbole somme
- 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 99
- 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 65
- 1 + 1√2 + 1√3 + ⋯ + 110
- √(11) + √(12) + √(13) + √(14) + √(15)
- 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ + 1024
- ∑k=16 1k)
- ∑m=13 mm
- ∑p=48 √(p + 1) − √(p)
- ∑j=25 jj2 − 1)
- ∑k=−33 k2k + 1)
- ∑k=15 (k − 1)(k + 1)
- la somme des multiples de 11 entre 1 et 1000
- la somme des multiples de 7 entre 400 et 1000
- la somme des entiers entre 1 et 100 qui ne sont pas multiples de 3
- la somme des entiers à 2 chiffres qui ne contiennent pas le chiffre 0.
- Démontrer pour tout n ∈ N, ∑k=0n k2 = n(n + 1)(2n + 1)6).
- En déduire pour tout n ∈ N une expression de Sn = ∑k=0n k × (n − k).
- Pour tout n ∈ N∗, ∑k=1n k × 2k−1 = 1 + 2n(n − 1).
- Pour tout n ∈ N, ∑k=0n k3 = (n(n + 1))24).
- Pour tout n ∈ N, ∑k=0n 3k = 3n+1 − 12).
- Pour tout entier n ∈ N∗, ∑j=1n j × 3j = 34) (1 + 3n(2n − 1))
ENS 2016 problème question 1
En déduire que 12 + 22 + ⋯ + n2 ≤ n3.
ENS 2016 problème question 2