Devoir non surveillé n^o 2

Étude de fonction

Étudier la fonction f : x ↦ e^−x/(x + 1) en précisant ses variations et ses limites éventuelles, puis tracer sa courbe en précisant les asymptotes éventuelles

Puissances de matrices

On pose J = [[−1 ;0 ;−2][1 ;1 ;1][1 ;0 ;2]] et M = [[−7 ;0 ;−8][4 ;1 ;4][4 ;0 ;5]].

1. Calculer J² et en déduire une expression de Jⁿ pour tout n ≥ 2.
2. Montrer que J n’est pas inversible.
3. Déterminer deux réels a et b tels que aI + bJ = M.
4. En déduire une expression pour Mⁿ comme combinaison linéaire de I et J.

Puissances du logarithme

On considère la suite réelle définie pour tout entier naturel n, I_n = ∫₁^e (ln(x))ⁿ dx .

1. Calculer les valeurs de I₀ et I₁.
2. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer une relation de récurrence sur la suite (I_n).
3. Déterminer le signe et les variations de la suite (I_n).
4. En déduire que la suite (I_n) converge et préciser sa limite.
5. En déduire que la suite (nI_n) converge et préciser sa limite.

Urne de Polya

On considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire. On tire successivement et avec remise une boule de l’urne en rajoutant une boule de la même couleur. On note B_n le nombre de boules blanches dans l’urne avant le n-ième tirage. En particulier, on a B₁ = 1.

1. Déterminer la loi de B₂ et de B₃.
2. Pour tout (n, k) ∈ N × N^∗, exprimer la probabilité P(B_n+1 = k) en fonction de la loi de B_n.
3. Montrer par récurrence sur n ∈ N^∗ que la variable B_n suit une loi uniforme.

Compléments sur les suites et séries (★)

Suites adjacentes

Soit u une suite réelle croissante et v une suite réelle décroissante telles que lim_n→+∞ (v_n − u_n) = 0.

1. Montrer par l’absurde que u est majorée par v₀, et v est minorée par u₀.
2. En déduire que u et v converge et qu’elles ont la même limite.

Convergence de la série harmonique alternée

On pose pour tout entier n > 0, S_n = ∑_k=1ⁿ (−1)^k+1/k, avec u_n = S_2n et v_n = S_2n+1.

1. Montrer que les suites u et v satisfont les conditions de la partie précédente.
2. En déduire que (S_n) converge.

Formule de Taylor–Lagrange avec reste intégral

Soit f une fonction de classe 𝒞^∞ sur un intervalle I. Soit (a, b) ∈ I².

1. Montrer par récurrence sur n ∈ N l’égalité f(b) = ∑_k=0ⁿ f^(k)(a)/k! (b − a)^k + ∫_a^b (b − t)ⁿ/n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt.

Application à la série exponentielle

1. En appliquant la formule précédente à la fonction exponentielle entre 0 et un réel x, montrer que exp(x) = ∑_k=0ⁿ x^k/k! + 1/n! ∫₀^x (x − t)ⁿ e^t dt.
2. Montrer que pour tout réel t compris entre 0 et x, on a |x − t| ⩽ |x| et en déduire l’inégalité |∫₀^x (x − t)ⁿ e^t dt| ⩽ |x|ⁿ (e^x + 1).
3. En déduire la convergence de la série exponentielle.

Somme de la série harmonique alternée

1. Déterminer les dérivées successives de la fonction f : x ↦ ln(1 + x) sur ]−1, +∞[.
2. En appliquant la formule de Taylor–Lagrange à la fonction f, montrer que pour tout entier n > 0 et pour tout x > −1 on a ln(1 + x) = ∑_k=1ⁿ (−1)^k+1x^k/k + (−1)ⁿ ∫₀^x (x − t)ⁿ/(1 + t)ⁿ⁺¹ dt.
3. Montrer que pour x = 1 on a 0 ⩽ ∫₀¹ (1 − t)ⁿ/(1 + t)ⁿ⁺¹ dt ⩽ ∫₀¹ (1 − t)ⁿ dt
   et calculer cette dernière intégrale.
4. En déduire la somme de la série harmonique alternée ∑_k=1^+∞ (−1)^k+1/k .