Devoir surveillé n^o 1

Symbole somme

1. Calculer ∑_k=1⁵ k²/2^k.
2. Décrire la somme 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 à l’aide d’un symbole somme.
3. Démontrer que pour tout n ∈ N on a ∑_k=0ⁿ (2k + 1)² = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3.

Résolution d’équations

Résoudre les équations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• (2x + 1)(2 − x) = 7x − 3
• √(5 − 4x) = 6x − 1

Suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont les quotients de termes successifs se rapprochent du nombre d’or. Ses premiers termes s’écrivent : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … en calculant chaque terme comme la somme des deux termes précédents.

1. Calculer les trois termes suivants de la suite.
2. Comparer les trois quotients 5/3, 8/5 et 13/8.
3. Vérifier que l’équation x − 1 = 1/x) a une seule solution positive que l’on notera a.
4. Calculer a².
5. Comparer la valeur de a avec celles des quotients de la question 2 puis représenter ces quatre nombres sur axe orienté.

Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue réelle x en précisant systématiquement le domaine d’étude au préalable.

• 2x < 3 + 5/(x + 1)
• √(x² − 4) ≤ 2x + 3

Démonstrations

1. Soit a un entier impair. Montrer que pour tout entier n la puissance aⁿ est impaire aussi.
2. Démontrer que pour tout x ∈ [0, 1] on a 1 − √x ≤ 1/(1 + √x).

Étude de fonction (bonus)

Étudier le domaine de définition, les variations et les limites de la fonction f : x ↦ (3x + 2)/(x² − x + 1) en précisant ses points d’annulation, puis représenter la courbe de la fonction avec sa tangente au point d’abscisse 1.