Si u est arithmétique de raison r ∈ R, ∀ n ∈ N,
un+1 = un + r ;
un = u0 + nr
Suite géométrique
Si u est géométrique de raison q ∈ R∗, ∀ n ∈ N,
un+1 = un × q ;
un = u0 × qn
Suite récurrente linéaire d’ordre 2
Soit (a, b) ∈ R2 tel que b ≠ 0
et ∀ n ∈ N,
un+2 = aun+1 + bun.
Si l’équation caractéristique x2 = ax + b a deux solutions (réelles ou complexes) distinctes λ et μ alors il existe deux constantes A et B tels que ∀ n ∈ N,
un = Aλn + Bμn.
Si l’équation a une seule solution λ
alors il existe deux réels A et B tels que ∀ n ∈ N,
un = (An + B)λn.
Suite arithmético-géométrique
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a ≠ 1
et ∀ n ∈ N,
un+1 = aun + b.
Si λ est l’unique solution de x = ax + b,
la suite (un − λ)n∈N est géométrique de raison a.
Fonction de récurrence homographique
Soit (a, b, c, d) ∈ R4
tel que ad − bc ≠ 0 et c ≠ 0 et
∀ n ∈ N,
un+1 = aun + b/cun + d).
Si l’équation caractéristique cx2 = (d − a)x − b = 0 a deux solutions (réelles ou complexes) distinctes λ et μ alors la suite de terme général (un − λ/un − μ) est géométrique.
Si l’équation a une seule solution λ
alors la suite
(1/un − λ)
est arithmétique.
Variations de suite réelle
Critère de variations par différence
u croissante ⇔ ∀n∈N, un+1−un ≥ 0
Critère de variations par quotient
Si u est strictement positive. u croissante ⇔ ∀ n ∈ N, un+1/un ≥ 1
Suite récurrente
Soit f une fonction continue et croissante sur un intervalle stable I. Si u0 ∈ I
et ∀ n ∈ N,
un+1 = f(un)
alors u est monotone.
Suite implicite
Soit (fn) une suite de fonctions.
Si ∀ n ∈ N,
fn(un) = 0,
le signe de fn+1(un) montre que le sens de variation de la suite u est opposé au sens de variation composé de celui des fonctions fn et celui des suites (fn(x)).
Limite
Soit u une suite réelle et L ∈ R.
limn→+∞un = L
⇔ ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N : ∀ n > N,
|un − L| < ε ;
limn→+∞un = +∞
⇔ ∀ M > 0, ∃ N ∈ N : ∀ n > N,
un > M ;
limn→+∞un = +∞
⇔ ∀ M < 0, ∃ N ∈ N : ∀ n > N,
un < M
Suite géométrique
∀ q ∈ ]−1, 1[,
limn→+∞qn = 0
∀ q ∈ ]1, +∞[,
limn→+∞qn = +∞
Suite de puissances
∀ α ∈ R+∗,
limn→+∞nα = +∞
∀ α ∈ R−∗,
limn→+∞nα = 0
Suite récurrente
Soit f une fonction continue sur un intervalle stable I. Si u0 ∈ I
et ∀ n ∈ N,
un+1 = f(un),
et si u converge vers L ∈ I
alors f(L) = L.
Comparaison de croissance
∀ a > 1, ∀ b > 0,
∀ c > 0,
limn→+∞an/n!) = 0 ;
limn→+∞nb/an) = 0 ;
limn→+∞(ln(n))c/nb) = 0
Somme de Riemann
Soit f une fonction continue sur [0 ; 1]. limn→+∞1/n∑k=1nf(k/n)
= ∫01f(t) dt